Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 21
Approssimando per valori piccoli di k con
E a (k)≈ ~2 k 2
(100)
2m ∗
(curva verde in figura) e confrontando con la (99) si ottiene
m ∗ =
~ 2
2d 2 |E ±d |
(101)
Dunque gli elettroni appartenenti a una banda di stati fortemente localizzati
hanno una grande massa efficace. Il livello atomico E a nel cristallo (sistema
polistabile con N centri di attrazione) si divide negli N livelli E a (k) della
prima zona di Brillouin.
7.2 Metodo LCAO
Costruendo una diversa banda "tight binding" partendo da un diverso stato
atomico φ b di energia E b la nuova banda può risultare parzialmente sovrapposta
alla precedente (in genere per k maggiore di un dato valore interno
alla prima zona). In questo caso non è più possibile parlare di banda a e
di banda b (per esempio banda s e banda d negli elementi di transizione).
Occorre allora generalizzare l’espressione della funzione d’onda "tight binding"
operando anche una combinazione lineare dei diversi orbitali atomici
possibili. Si ottengono così le funzioni di Bloch LCAO
ψ LCAO
k (r) = √ 1 X X
e ik·n β a φ a (r − n) (102)
N
n
I pesi β a possono essere determinati minimizzando
Z
¸
E LCAO (k) = ψ ∗LCAO
k (r)
∙− ~2
2m ∇2 +U(r) ψ LCAO
k (r)dr (103)
Poiché in presenza del potenziale periodico compaiono delle barriere di potenziale
finite tra ione e ione che alterano di molto le buche di potenziale che
sarebbero prodotte dai singoli ioni isolati, gli stati atomici φ a (r − n) sono
molto diversi dagli stati di Bloch esatti nelle regioni interstiziali. Inoltre gli
stati atomici legati sono un insieme incompleto per la rappresentazione di
uno stato di Bloch con energia superiore ai massimi del potenziale periodico,
dove lo spettro è praticamente continuo (cfr gli stati non legati di un
atomo per energie positive). Nelle figura sono mostrati due diversi livelli
energetici al di sotto e al di sopra dei massimi del potenziale periodico. E’
a