Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

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c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 35 individuata dai due angoli θ e φ delle coordinate sferiche e l’angolo solido infinitesimo attorno a questa direzione è dΩ =sinθdθdφ. Al fascio di particelle diffuse è associata la densità di corrente di probabilità radiale j s (r) = ~ 2mi µ ψ ∗ s(r) ∂ψ s(r) ∂r L’eq. integrale si può allora riscrivere come − ψ s (r) ∂ψ∗ s(r) ∂r (170) ψ s (r) =e iki·r e ikr + A si (171) r L’insieme dei centri diffondenti (volume di scattering V scat ), investito da un’onda piana monocromatica, genera un’onda sferica modulata caratterizzata dall’ ampiezza di scattering A si = − µ Z e −ik s·r 0 U(r 0 )ψ 2π~ 2 s (r 0 )dr 0 (172) V scat Nell’approssimazione di Born, si considera l’energia potenziale una perturbazione rispetto all’energia cinetica e si scrive, sotto il segno di integrale ψ s (r 0 ) ≈e ik i·r 0 . Così facendo si trascura lo scattering multiplo e si ottiene l’ampiezza di scattering al primo ordine: A si = − µ Z U(r 0 )e −iQ·r0 dr 0 = (173) 2π~ 2 V scat = − µ 2π~ < k 2 i + Q|U(r)|k i > dove compare Q = k s − k i (174) il vettore d’onda trasferito. L’ampiezza di scattering risulta così proporzionale alla trasformata di Fourier di indice Q dell’energia potenziale di interazione. La perturbazione prodotta dal campo medio di energia potenziale genera transizioni tra lo stato iniziale |k i > e lo stato finale |k i + Q >= |k s > descritti da onde piane (lontano dal volume di scattering). La quantità < k s |U(r)|k i > èdettaelemento di matrice dell’operatore di perturbazione. La sezione d’urto differenziale = dσ(Ω) = (numero di particelle diffuse per unità di tempo entro l’angolo solido dΩ)/(flusso delle particelle incidenti) =(j s r 2 dΩ/j i ) risulta uguale a: dσ(Ω) = k s k i |A si | 2 dΩ (175)
c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 36 9.2 Scattering elastico - Legge di Bragg Quando lo scattering è elastico k s = k i . Sel’energiapotenzialehalaperiodicità del reticolo posso svilupparla in serie di Fourier U(r) = X hkl U hkl e ig hkl·r (176) essendo i g hkl i vettori del reticolo reciproco, con coefficienti di Fourier U hkl = 1 U(r)e V cella Zcella −ighkl·r dr (177) L’ampiezza di scattering risulta allora: A si = − µ Z U 2π~ 2 hkl e ig hkl·r 0 e −iQ·r0 dr 0 = X V hkl scat = − µ X 2π~ 2 hkl U hkl Z V scat e i(g hkl−Q)·r 0 dr 0 (178) Se il volume si scattering è molto grande rispetto al volume definito da |Q| −3 e, negli esperimenti di scattering tipici, rispetto a V cella , anche se siamo ancora nell’ipotesi del far field, si può estendere l’integrale a tutto lo spazio, nel qual caso A si = − 4π2 µ X U ~ 2 hkl δ(g hkl − Q) (179) hkl Da cui si vede che l’ampiezza di scattering è diversa da zero (massima) solo se Q = g hkl . La formula (179) ha un significato fisico molto semplice se si ricordano le proprietà del reticolo reciproco e del reticolo diretto. Una particolare famiglia di piani reticolari del reticolo diretto è individuata da quei particolari vettori del reticolo reciproco (perpendicolari ai piani della famiglia) che sono individuati dalla terna di numeri interi (hkl) più piccoli (coincidenti con gli indici di Miller della famiglia di piani) e da tutte le terne {hkl} che si ottengono da (hkl) moltiplicando ogni indice della terna per uno stesso numero intero n. Per esempio, in un reticolo cubico semplice: (110),(220),(330),..... I vettori g 220 ,g 330 ,..... hanno la stessa direzione del vettore g 110 emoduli|g 220 | =2|g 110 |, |g 330 | =3|g 110 |,..... La distanza tra piani primi vicini di questa famiglia è d 110 =2π/ |g 110 | = a/ √ 2 erappresenta il periodo spaziale del reticolo nella direzione < 110 > che è quella della normale alla famiglia di piani considerata. Consideriamo la condizione necessaria per avere un’ampiezza di scattering diversa da zero: Q = k s − k i = g hkl (180)
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