Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com
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c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong> <strong>dello</strong> Stato Solido 65<br />
Nell’ambito dell’approssimazione armonica abbiamo dunque un gas perfetto<br />
<strong>di</strong> Bose-Einstein <strong>di</strong> fononi. Spesso il termine fonone viene utilizzato anche<br />
per designare le coor<strong>di</strong>nate collettive (e i mo<strong>di</strong> normali) ξ(q,α) enonsolo<br />
iloroquanti<strong>di</strong>energiavibrazionale~ω(q,α). Anche nelle interazioni con<br />
gli elettroni e con i fotoni (eventi <strong>di</strong> emissione, assorbimento e scattering),<br />
le vibrazioni reticolari si <strong>com</strong>portano <strong>com</strong>e quasi-particelle caratterizzate dal<br />
momento cristallino ~q (nello schema della zona ridotta o della zona ripetuta)<br />
e dall’energia ~ω(q,α) (perio<strong>di</strong>ca in q nello schema della zona ripetuta) esi<br />
<strong>di</strong>stinguono in fononi acustici e fononi ottici. Quando in un processo sono<br />
coinvolti fononi con il vettore d’onda <strong>com</strong>preso nella prima zona <strong>di</strong> Brillouin,<br />
si parla <strong>di</strong> processi N (normali); altrimenti<strong>di</strong>processi U (umklapp).<br />
11.6 Calore specifico: mo<strong>dello</strong> <strong>di</strong> Debye<br />
Nel caso <strong>di</strong> un cristallo macroscopico i vettori d’onda occupano fittamente la<br />
prima zona <strong>di</strong> Brillouin nello spazio reciproco. Ciò suggerisce <strong>di</strong> introdurre il<br />
concetto <strong>di</strong> densità dei mo<strong>di</strong> normali <strong>di</strong> vibrazione. In un cristallo <strong>di</strong> volume<br />
V contenente N celle primitive, il volume <strong>di</strong> spazio reciproco associato a un<br />
singolo vettore d’onda è pari a<br />
8π 3 8π 3<br />
=<br />
NV cella N |a 1 · a 2 × a 3 | = 8π3<br />
(294)<br />
V cristallo<br />
Se consideriamo un cristallo monoatomico con un solo atomo per cella primitiva,<br />
ad ogni vettore d’onda corrispondono 3 mo<strong>di</strong> normali acustici (uno longitu<strong>di</strong>nale<br />
e due trasversi). Per ciascuna polarizzazione (branca) la quantità<br />
precedente può essere definita <strong>com</strong>e densità dei mo<strong>di</strong> normali ed è costante<br />
nello spazio reciproco. Possiamo domandarci quanti mo<strong>di</strong> normali N α (ω) <strong>di</strong><br />
una data polarizzazione α hanno frequenza <strong>com</strong>presa tra 0 e ω. Perrispondere<br />
basta considerare la relazione <strong>di</strong> <strong>di</strong>spersione ω = ω α (q) <strong>com</strong>e l’equazione<br />
<strong>di</strong> una superficie nello spazio reciproco. Questa superficie racchiude un volume<br />
V α (ω). Risulta allora che<br />
N α (ω) = ³<br />
V α(ω)<br />
´ (295)<br />
8π 3<br />
V cristallo<br />
Mentre la densità dei mo<strong>di</strong> α <strong>com</strong>e funzione <strong>di</strong> ω risulta essere la derivata<br />
g α (ω) = dN α(ω)<br />
(296)<br />
dω<br />
Per esempio, nel caso della catena monoatomica 1D risulta che l’equazione<br />
r κ ³<br />
¯ qa<br />
ω =2 ¯sin<br />
´¯¯¯ (297)<br />
m 2
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