Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 107
ψ (1)
m = ϕ m + X hn|cW |mi
ϕ
n6=m
E m
(o) − E n
(o) n (507)
Mediante queste autofunzioni perturbate calcoliamo i livelli energetici perturbati
come:
³ ´
E m ≈ hψ (1)
m | H bo + cW |ψ (1)
m i (508)
Arrestandosi al secondo ordine in e tenendo conto della condizione necessaria
per la convergenza della serie
¯
¯E m
(o) − E n
(o) ¯ ¯
À ¯hn| W c |mi¯ (509)
si ottiene infine (dopo lunghi calcoli):
E m = E (o)
m
+ hm| c W |mi + 2 X n6=m
¯ ¯
¯hn|cW |mi
E (o)
m
¯2
− E (o)
n
(510)
In molte applicazioni è possibile tenere conto del decadimento spontaneo e/o
di altri fenomeni dissipativi mantenendo nelle formule finali per i coefficienti
a (1)
n (0) l’espressione
hn|cW |mi
(511)
E m
(o) − E n
(o) + is
dove il valore di s va aggiustato per ottenere il migliore accordo con i dati
sperimentali. Considerando s infinitesimo si può dimostrare che (PP =parte
principale di Cauchy, vedi anche RelazionidiKramerseKronig):
1
E m
(o) − E n (o) + is ≈ PP 1
− iπδ ¡ ¢
E (o)
E m
(o) − E n
(o)
m − E n
(o) . (512)
Anche quest’ultima formula è molto utilizzata, assieme ad una nuova rappresentazione
della delta di Dirac
δ(x) ≈− 1 µ 1
π Im = 1 s
(513)
x + is π x 2 + s 2
che ne segue direttamente e viene frequentemente utilizzata nel formalismo
delle funzioni di Green.