?????????????? ?????? ? ????????? ?????????? ??????? ?????

1. Базовые понятия и основные математические соотношения.
1.1. Система обозначений.
Система обозначений математических объектов зависит от действий с
этими объектами. Рассмотрим следующие формы обозначений: матричную,
матрично-индексную, матрично-тензорную и тензорную. Критерием
различий между ними служит правило использования индексов.
Матричная форма. Это безиндексная форма. Матрица или вектор
обозначаются одной буквой латинского алфавита, как правило, полужирным
шрифтом, для отличия от скаляра, обозначаемого простым
шрифтом, например, Z, I, i, U и т.д.
Для операции транспонирования применяется нижний индекс t,
например, Zt. Для обратной матрицы применяется степень -1, например,
(Z) -1 или Z -1 . Обозначения матриц и векторов означают их смысл: i – вектор
токов, U – вектор напряжений и т.д. Чтобы внести отличия между
векторами, их снабжают дополнительными символами. Например, век-
тор токов в ветвях можно обозначить ib, а вектор контурных токов ik.
При преобразованиях векторов из исходной системы координат в новую
систему координат, применяют обозначения со штрихами, например,
i' – это новый вектор тока, i – старый вектор тока.
Матричная форма наиболее лаконична. Из текста должно быть ясно, о
каких координатах идет речь. Для явного указания координат, используют
матрично-индексную форму.
Матрично-индексная форма. В этом случае обозначение матрицы или
вектора дополняется нижними индексами, при этом для матриц первый
индекс обозначает строку, второй – столбец, например, матрица Crb содержит
r строк и b столбцов.
Вектор представляет собой матрицу с одним столбцом, единственный
векторный индекс перечисляет строки этого столбца, например, вектор
Ub содержит b строк. Для операции транспонирования матрицы произ-
водится перестановка индексов, например, матрица Crb является транс-
понированной по отношению к матрице Cbr.. Для того чтобы представить
транспонированный вектор, то есть вектор в виде строки, использу-
ется точка, например, вектор U.b содержит b столбцов (и одну строку).
Так же, как и для матричной формы, для обратной матрицы в индексной
форме применяется степень -1, например, (Zbb) -1 . При перемножении
матриц в индексной форме удобно контролировать правильность расположения
и размерность сомножителей. Суммирование производится по
одинаковым индексам, имеющим ближнее расположение в сомножителях,
например, в произведении Cbd=Сbr · Crd суммирование производится
по индексу r, в произведении U·b=U.s · Csb, суммирование производится
по индексу s.
8