?????????????? ?????? ? ????????? ?????????? ??????? ?????

2.1.1.3. Формула дифференцирования «назад».
Рассмотрим применение формулы дифференцирования «назад» к-го
порядка и покажем, что она также может быть согласована с уравнением
обобщенной ветви.
Согласно общей формуле дифференцирования «назад», производные
токов и напряжений в текущий (n+1)-й момент времени в компонентных
уравнениях представляются через рассчитанные токи и напряжения в
предыдущие моменты времени согласно уравнению, соответствующему
неявной форме:
dx n +1
dt
1
=−
Δt ⋅∑
k
a j⋅x n +1 - j (2.1.17)
j= 0
где х - ток, либо напряжение инерционной ветви, Δt - временной шаг интегрирования,
к - порядок метода, аj (j=0÷к) - постоянные коэффициенты,
зависящие от порядка метода и рассчитываемые для j≥1 по формуле:
аj=k∙(1-k)∙(2-k)...(j-1-k)/(k!∙j). (2.1.18)
Коэффициент а0 определяется при этом по формуле: a 0 =−∑ j =1
Уравнение (2.1.17) определяет соответствующие выражения для расчетов
источников тока, напряжения, а также сопротивления Z в уравнении
обобщенной ветви (2.1.2). Получим эти выражения.
Ток линейной емкости С в момент времени tn+1 :
in+1=C∙(dUn+1/dt). (2.1.19)
Подставляя в (2.1.19) выражение производной (2.1.17), получим:
Вынося за знак суммы 1-е слагаемое:
in + 1 =− C
Δt ⋅∑
k
a j⋅U n +1- j
j = 0
k
a j .
in +1 =− C⋅a 0
Δt ⋅U C
n+ 1− Δt ⋅∑
k
a j⋅U n +1 - j (2.1.20)
j =1
Решая уравнение (2.1.20) относительно напряжения получаем:
U n +1 1
k
⋅∑ a j⋅U n +1- j =−
a0 j =1
Δt
⋅i n+1 (2.1.21)
C⋅a 0
Теперь, если ввести обозначения:
- напряжение и ток в емкости в текущий (n+1)-й момент времени:
U = Un+1; i=in+1
- источник напряжения на емкости, определяемый через значения
напряжения, вычисленные на предыдущих шагах:
e =
- алгебраизированное сопротивление емкости:
1
k
⋅∑ a j⋅U n +1 - j
a0 j =1
40