?????????????? ?????? ? ????????? ?????????? ??????? ?????

пендикулярно некоторой плоскости. Контрвариантные векторы можно
назвать поперечными.
Для технических приложений смысл ковариантности и контрвариантности
связан с измерениями и преобразованиями результатов измерений
в ту систему координат, которая наиболее удобна для вычислений или
наиболее проста для аппаратной реализации.
***
Тензор сопротивлений можно трактовать как "метрический" тензор.
Такой тензор играет фундаментальную роль в тензорном исчислении.
Рассмотрим смысл метрического тензора и сопоставим его с тензором
сопротивлений.
Важнейшим свойством различных систем координат является расстояние
между двумя близко расположенными точками - элемент длины ds.
Для прямоугольной системы координат квадрат этого расстояния вычисляется
по теореме Пифагора:
ds 2 =dx 2 +dy 2 ,
где dx и dy - соответственно расстояния между точками по оси х и у. Для
криволинейной системы координат формула несколько усложняется:
(ds) 2 =E(du) 2 +2Fdu·dv+G(dv) 2 ,
где du и dv расстояние между точками по координатам u и v. Теорема
Пифагора является частным случаем этой формулы. Исходя из формулы
для элемента длины, можно построить всю геометрию для выбранной
системы координат. Три коэффициента E, F, G играют фундаментальную
роль для определения свойств этой геометрии. В тензорном анализе
принята другая форма записи для элемента длины:
(ds) 2 =g11(dx1) 2 +g12dx1dx2+g21dx2dx1+g22d(x2) 2 ,
где вместо обозначений u и v используются обозначения х1 и х2. Коэффициенты
g12 и g21 равны друг другу: g12=g21. Коэффициенты g в формуле для
элемента длины носят название метрических коэффициентов и являются
компонентами метрического тензора:
gαβ= g11 g12
g21 g22
Формулу для элемента длины можно записать более компактно в тензорной
форме:
(ds) 2 =gαβ · dx α dx β . (1.2.3)
Теперь обратимся к пространству электрической схемы. Если схема
описывается в контурных координатах, то мощность схемы можно выразить
формулой в тензорных обозначениях, используя правила внутреннего
произведения:
P=Rαβ·i α ·i β , (1.2.4)
12