?????????????? ?????? ? ????????? ?????????? ??????? ?????

1.2. Тензорные объекты в уравнениях.
Операции с тензорными объектами предполагают бóльшую степень
общности, чем операции с векторными уравнениями. Это можно продемонстрировать
следующей схемой:
Численные
уравнения
{3,5⋅ 8,6 = 30,1
3,5⋅ 2,7 = 9,45
3,5⋅−1,4= 4,9
...
Скалярные
уравнения
{Z 1 ⋅I 1 = U 1
Z 2 ⋅I 2 = U 2
Z 3 ⋅I 3 = U 3
.. .
Численные уравнения могут быть представлены одним скалярным (алгебраическим)
уравнением. Например, если сопротивление равно 3,5
Ома, то обозначив его символом Z1, численные значения, связывающие
ток и напряжение, можно выразить одним уравнением Z1·I1=U1. Для другого
сопротивления Z2 уравнение будет другим Z2 ·I2=U2. Система скалярных
уравнений может быть представлена одним векторным уравнением,
например, Za·Ia=Ua, где Za – матрица сопротивлений. Каждое векторное
(матричное) уравнение может описывать какую-то одну электрическую
схему. Для нескольких схем надо составить систему векторных
уравнений. Эта система может быть представлена одним тензорным
уравнением, например, Zαβ·I α =Uβ, где объекты будут тензорами. Одно такое
тензорное уравнение может описывать сразу несколько схем, например,
для электрических машин такое уравнение носит название "уравнение
обобщенной электрической машины". Получение из тензорного
уравнения одной системы векторных уравнений для конкретной схемы,
может быть выполнено правилами проецирования на конкретную систему
координат. В этой конкретной системе тензорное уравнение становится
матричным с определенными свойствами, характерными для данной
схемы.
Тензорные уравнения могут быть обобщены далее. В этом случае они
тоже носят название тензорных уравнений, но только более высокого
порядка. (Например, в последнее время на базе тензорного исчисления
получила распространение мультилинейная алгебра).
Рассматриваемые в последующих разделах уравнения обобщенной
электрической схемы можно отнести к тензорному типу уравнений, так
как они представляют все возможные схемы, состоящие из заданного
числа ветвей. Переход от одной схемы к другой выполняется посредством
координатных преобразований.
Индексная система хорошо приспособлена для отображения законов
преобразования координат. Например, если обозначить I b – вектор тока
10
Векторные
уравнения
{Z a ⋅I a = U a
Z b ⋅I b = U b
Z c ⋅I c = U c
.. .
Тензорные
уравнения
{Z αβ ⋅I α = U β
Z δγ ⋅I δ =U γ
Z λμ ⋅I λ = U μ
.. .