?????????????? ?????? ? ????????? ?????????? ??????? ?????

2.2. Топологические модели электрических схем
2.2.1. Матричная форма законов Кирхгофа
Топологические модели рассмотрим на простом, но достаточно общем
примере. Пусть дана схема из шести обобщенных ветвей рис.2.2.1.
Это могут быть резисторы, емкости, индуктивности, источники и т.д.
Положительные направления токов и напряжений соответствуют принятым
на рис.2.1.1 положительным направлениям обобщенной ветви.
z1
Связь между токами ветвей устанавливается 1-м законом Кирхгофа:
для узла 1: iz3 – iz5 – iz6 = 0,
для узла 2: iz1 – iz2 – iz3 = 0,
для узла 3: –iz1 + iz2 + iz4 = 0,
для узла 4: –iz4 + iz5 + iz6 = 0,
Если ввести вектор токов:
z1 z2 z3 z4 z5 z6
it = iz1 iz2 iz3 iz4 iz5 iz6
2 1
z2
то 1-й закон Кирхгофа можно выразить в матричной форме:
z1 z2 z3 z4 z5 z6 iz2
1 1 -1 1 iz3
2 1 -1 -1 · iz4 = At ∙ i = 0
3 -1 1 1 iz5
z4
3 4
Рис. 2.2.1. Пример схемы, состоящей из обобщенных ветвей.
(2.2.1)
В этом выражении матрица Аt содержит три строки, номера которых
соответствуют номеру узла. Если ветвь выходит из узла, то соответствующий
элемент матрицы равен 1, если ветвь входит в узел, то ставится -1.
Индекс t в обозначениях матриц и векторов означает транспонирование.
Матрица А называется узловой матрицей.
Следует заметить, что матрица Аt не содержит строки, соответствующей
4-му узлу. Это связано с тем, что потенциал одного из узлов схемы
56
z3
iz1
iz6
z5 z6