1. KOORDINATVEKTORER 1 Dette notesæt noter er beregnet til at bruges i “Calculus” kurset. Afsnit 1-13 handler om <strong>Lineær</strong> <strong>Algebra</strong>, og er skrevet af Anders Kock; Afsnit 14-18 handler om <strong>Differentialligninger</strong>, og er skrevet af Holger Andreas Nielsen. I <strong>Lineær</strong> <strong>Algebra</strong> delen er hovedvægten: matrix-regning, lineære ligningsystemer, egenværdi/egenvektor begrebet for kvadratiske matricer, samt ortogonal projektion. Noterne er beregnet til at blive brugt i forbindelse med lærebogen Stewart: Calculus - Concepts and Contexts, 2nd ed., til hvilken der refereres med symbolet “[S]”. Koordinat-vektorrummene R n st˚ar i centrum af fremstillingen. Men af hensyn til den geometriske forst˚aelse og terminologi indg˚ar geometriske vektorrum og geometrisk vektor-regning ogs˚a i kurset. Det hentes fra lærebogen, [S] Kapitel 9 (som delvis er gymnasiestof). Dog skal det understreges, at begrebet “vektor-produkt” (= “kryds-produkt”, [S] 9.4) kun er til r˚adighed i dimension 3; derfor indg˚ar det ikke i noterne her, hvor vægten er p˚a de dele af teorien, der fungerer i alle dimensioner. 1 Koordinatvektorer Lad n være et positivt helt tal, n = 1, 2, 3, . . . . En n-dimensional koordinatvektor er en liste, eller et n-tupel, (a1, a2, . . ., an) best˚aende af n reelle tal a1, a2, . . .,an. Disse n tal kaldes koordinatvektorens koordinater. Hvis n = 2, kaldes et n-tupel ogs˚a et (tal-)par, og for n = 3 et (tal-)tripel; et 1-tupel er det samme som et tal. Talpar kan som bekendt ved hjælp af et koordinatsystem identificeres med punkter i planen; 3-tupler (tripler) kan tilsvarende ved hjælp af et koordinatsystem identificeres med punkter i rummet, jvf. Kapitel 9 i [S]. Hovedvægten i det følgende ligger p˚a ting, der ikke afhænger af denne geometriske tolkning, som jo ogs˚a kun er mulig for n = 2 og n = 3. Koordinatvektorer af samme dimension n kan adderes, og de kan multipliceres med reelle tal, i henhold til følgende fastsættelse (sml. s. 656 i [S]): (a1, a2, . . .,an) + (b1, b2, . . .,bn) := (a1 + b1, a2 + b2, . . .,an + bn) α · (a1, a2, . . .,an) := (α · a1, α · a2, . . ., α · an) De udgør det n-dimensionale (reelle) koordinatvektorrum, som ogs˚a betegnes R n . Vi vil ofte kort betegne et n-tupel (a1, a2, . . ., an) med et understreget bogstav, a = (a1, a2, . . ., an). Koordinatvektoren (0, 0, . . ., 0) kaldes nulvektoren eller Origo og betegnes 0. En vektor kaldes en egentlig vektor hvis den er = 0 . I [S], s. 648 betragtes s˚aledes R 3 , der i modsætning til f.eks. R 4 kan gives en geometrisk tolkning. – Men selv i dimension 3 er geometrisk tolkning ikke altid relevant: (1)
- Page 1: Lineær Algebra og Differentiallign
- Page 6 and 7: 2 Eksempel 1. P˚a mange madvarer i
- Page 8 and 9: 4 N˚ar man har en sammenhæng, hvo
- Page 10 and 11: 6 De tre vektorer (1, 0, 0), (0, 1,
- Page 12 and 13: 8 Det anbefales, at man øver sig i
- Page 14 and 15: 10 Sætning 3 Lad A være en m × n
- Page 16 and 17: 12 13, 21, ... . Disse tal spiller
- Page 18 and 19: 14 Opgave 2. Udregn matrixprodukter
- Page 20 and 21: 16 Lad A være en fast m ×n-matrix
- Page 22 and 23: 18 hvor prikken til højre betegner
- Page 24 and 25: 20 Opgave 5. Betragt den lineære a
- Page 26 and 27: 22 spare, p˚a grund af ovennævnte
- Page 28 and 29: 24 Eksempel 1’. x1 + x2 + x3 = 1.
- Page 30 and 31: 26 og y er løsninger, dvs. hvis A
- Page 32 and 33: 28 Vi betragter først lineære lig
- Page 34 and 35: 30 ud: λ3 = 1 −6λ3 +λ2 = 0 12
- Page 36 and 37: 32 6 Løsningsteknik Betragt 2x1
- Page 38 and 39: 34 Idet vi regner som før (og for
- Page 40 and 41: 36 én parameter for hver pivot-fri
- Page 42 and 43: 38 • • • hvor de sorte plette
- Page 44 and 45: 40 som man kan kontrollere passer.
- Page 46 and 47: 42 Angiv den fuldstændige løsning
- Page 48 and 49: 44 en nulrække nederst. Da vi lige
- Page 50 and 51: 46 Opgave 2. Det oplyses, at følge
- Page 52 and 53: 48 20 ◦ Find værelsernes tempera
- Page 54 and 55:
50 Hvis A betegner en (kvadratisk)
- Page 56 and 57:
52 Sætning 11 (Produktreglen for d
- Page 58 and 59:
54 Opgave 4. Angiv et tal λ s˚a a
- Page 60 and 61:
56 hvor vi p˚a højre side, lige s
- Page 62 and 63:
58 Bemærkning 2. Det kan let vises
- Page 64 and 65:
60 Eksempel 7. Betragt matricen ⎡
- Page 66 and 67:
62 Lad f : U → U være en lineær
- Page 68 and 69:
64 Opgave 8. Angiv for hvert reelt
- Page 70 and 71:
66 Sætning 16 Givet en n × n matr
- Page 72 and 73:
68 Eksempel 2. Lad matricen A være
- Page 74 and 75:
70 Projekt Anvendelse af diagonalis
- Page 76 and 77:
72 Opgave 2. Diagonaliser matricen
- Page 78 and 79:
74 og heraf f˚as igen, at afstande
- Page 80 and 81:
76 har skrevet v som en sum v = u 1
- Page 82 and 83:
78 Eksempel 2. Giv en formel for de
- Page 84 and 85:
80 Sætning 18 (Pythagoras) Hvis a
- Page 86 and 87:
82 Dette tal er ikke det, der minim
- Page 88 and 89:
84 og span((1, 1, 1), (1, 2, 3)) =
- Page 90 and 91:
86 Bevis. Begge udsagn er trivielle
- Page 92 and 93:
88 (symmetrien af H P (f) fremg˚ar
- Page 94 and 95:
90 Bevis. z ′ = C1z ′ 1 + C2z
- Page 96 and 97:
92 Eksempel 2. Differentialigningen
- Page 98 and 99:
94 Heraf f˚as den fuldstændig lø
- Page 100 and 101:
96 Opgaver Opgave 3. Angiv den fuld
- Page 102 and 103:
98 homogent og er den homogene part
- Page 104 and 105:
100 Bevis. Gør prøve ved brug af
- Page 106 and 107:
102 løsninger for arbitrære valg
- Page 108 and 109:
104 er ifølge Sætning 31 Skrevet
- Page 110 and 111:
106 Opgaver Opgave 3. Betragt diffe
- Page 112 and 113:
108 som indsat opfylder ligningerne
- Page 114 and 115:
110 en løsning, der opfylder y(0)
- Page 116 and 117:
112 y 1 0 1 Eksempel 1. Retningsfel
- Page 118 and 119:
114 En konstant løsning y(x) = b,
- Page 120 and 121:
116 som giver en ustabil ligevægt.
- Page 122 and 123:
118 INDEX komplekse tal, 104 konsis