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2.5 Verkopplung und Kalibrierung
man die erste Zeile von (2.95) umschreiben zu
f a 1 (u, v) 1 c (−1)
11 + f a 2 (u, v) 1 c (−1)
12 + · · · + f a M(u, v) 1 c (−1)
1M =f i 1(u, v) 1 (2.96)
f a 1 (u, v) 2 c (−1)
11 + f a 2 (u, v) 2 c (−1)
12 + · · · + f a M(u, v) 2 c (−1)
1M =f i 1(u, v) 2 (2.97)
f a 1 (u, v) N c (−1)
11 + f a 2 (u, v) N c (−1)
12 + · · · + f a M(u, v) N c (−1)
1M =f i 1(u, v) N . (2.98)
Die Erweiterung dieses Aufbaus für jedes Einzelstrahlerdiagramm führt zu
⎛
f1 a (u, v) 1 f2 a (u, v) 1 · · · fM a (u, v) ⎞ ⎛
1 c (−1)
11 c (−1)
21 · · · c (−1) ⎞
f1 a (u, v) 2 f2 a (u, v) 2 · · · fM a M1
⎜
(u, v) 2
c (−1)
12 c (−1)
22 · · · c (−1)
M2
⎝
.
. . ..
⎟ ⎜ . ⎠ ⎝
. ⎟
. . .. . ⎠
f1 a (u, v) N f2 a (u, v) N · · · fM a (u, v) N c (−1)
1M
c(−1) 2M · · · c(−1) MM
⎛
f1(u, i v) 1 f2(u, i v) 1 · · · fM i (u, v) ⎞ (2.99)
1
f1(u, i v) 2 f2(u, i v) 2 · · · fM i
= ⎜
(u, v) 2
⎝
.
. . .
⎟
. . ⎠ ,
f1(u, i v) N f2(u, i v) N · · · fM i (u, v) N
in Kurzform
f a (c −1 ) T = f a [ c −1
1 c −1
2 · · · c −1
M
.
]
= f i . (2.100)
Falls die Anzahl der Richtungen gleich der Anzahl der Einzelstrahler ist - also N = M - muss
zur Gewinnung von c −1 nur ein komplexes lineares Gleichungssystem gelöst werden. Für den Fall
N > M handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem, dessen Lösung ein Minimierungsproblem
darstellt. Es müssen also M Probleme im Sinne des kleinsten Fehlerquadrates (least
square)
∥
min
f a c m − fm
i c m
∥ 2 (2.101)
gelöst werden. In [93] wird für die Lösung von Gleichung 2.101 die QR-Zerlegung
angewendet. Für die unitäre N × N Matrix Q gilt nach [94]
f a = QR (2.102)
Q H Q = I (2.103)
mit
Q H =
[
Q ∗ ] T
. (2.104)
R stellt eine obere Dreiecksmatrix der Dimension N × M dar. Für die Lösungsvektoren ˜c m kann
man jeweils die Gleichung
QR˜c
m
= f i m (2.105)
aufstellen und nach
R˜c m
= Q H f i m (2.106)
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