Einführung in die Integralrechnung mit ... - idmthemen

Integralrechnung5.2.2 Grundverständnis ,Integration als verallgemeinerte Summation’Als weiters Grundverständnis der Integralrechnung führen Blum & Törner (1983, S. 159f),Integration als verallgemeinerte Summation’ an, womit sie die Interpretation des bestimmtenIntegrals als Grenzwert einer Summe von Produkten meinen. Als Beispiele, bei denenjeweils Summen mit einer großen, variablen Summandenzahl von kleinen Produkteninteressant sind, geben sie unter anderem die Arbeit (Kraft mal Weglänge), denFlächeninhalt (Höhe mal Streifenbreit) und den Gesamtzuwachs einer Funktion(Änderungsrate mal Schrittlänge) an. Einer der Faktoren ist dabei immer der Funktionswerteiner Funktion, während der andere Faktor, der hinreichend klein sein muss, alsArgumentwertedifferenz !x i = x i – x i-1 gedeutet werden kann. Wenn man sich denSummationsprozess nun idealisiert für eine beliebig große Zahl an Summanden und beliebigkleine !x i vorstellt, dann kommt man zu dem Grundverständnis, dass das bestimmte Integral!b" f (x)dx einer Funktion f in einem Intervall [a,b] der Grenzwert einer Summe von unendlichakleinen Produkten ist. Dieses Grundverständnis motiviert die Schreibweisen ,"’ (für Summe)und ,dx’ (für die unendlich kleine Breite !x).Die angeführten Beispiele dieses Grundverständnisses sind verschiedene Anwendungen,welche die gemeinsame geometrische Grundvorstellung des Integrals als Grenzwert einerSumme von Rechtecksflächen besitzen, wobei die Breiten dieser Rechtecke beimGrenzprozess beliebig schmal werden. Blum & Törner (1983, S. 161) betonen, dass diesegeometrische Grundvorstellung keinesfalls als Reduktion auf das Verständnis des Integralsals Flächeninhalt gesehen werden darf. Sie denken zwar, dass es sinnvoll ist, wenn man denFlächeninhalt als erste dieser Anwendungen im Unterricht durchnimmt, heben aber hervor,wie wichtig es ist, das Verständnis auszuweiten und die Bedeutung des Integralbegriffes fürverschiedene Anwendungen aufzuzeigen.Für Blum & Törner (1983, S. 172) wird dieses Grundverständnis erreicht, wenn man alsEinstieg zur Integralrechnung den ,klassischen Weg’ über das Flächenberechnungsproblemkrummlinig begrenzter Flächen wählt. Mit Beispielen zur Bestimmung der eingeschlossenenFlächen von quadratischen und kubischen Funktionen werden die Begriffe Ober- undUntersumme und anschließend die Definition des Riemann-Integrals eingeführt:b" f (x)dx := limU = limn #$an #$O.Dann wird laut Blum & Törner bei diesem Zugang meist die Integralfunktion F(x) = " f (t)dta!definiert und das bestimmte Integral als Funktion der oberen Grenze interpretiert.x!34