Einführung in die Integralrechnung mit ... - idmthemen

Integralrechnungund Untersumme beliebig klein wird. Danckwerts & Vogel (2006, S. 118f) benützen an dieserStelle jedoch nicht die Begriffe Ober- und Untersumme.!Die Autoren begründen das Beispiel damit, dass an dieser Aufgabe gezeigt werden kann,dass sich das Integral beliebig gut durch Rechtecksummen annähern lässt. Beim Lösendieses Beispiel kann beobachtet werden, dass es sich bei der Approximation eines Integralsdurch Rechtecksummen, algebraisch betrachtet, um Summen von Produkten der Form$ f (x) " #x handelt. Danckwerts & Vogel (2006, S. 119f) halten erst an diesenWissensstand anknüpfend eine analytische Definition des Integrals Mittel Unter- undObersummen für sinnvoll:b" f (x)dx := limU = limO.an #$n #$5.2.4 Grundverständnis ,Integral als Mittelwert’Danckwerts & Vogel (2006, ! S. 110f) schreiben, dass der Aspekt des Integrierens als Mittelnweniger bekannt ist und im Unterricht nur sehr selten Verwendung findet. Der Ursprungdieses Grundverständnisses ist der Mittelwertsatz der Integralrechnung (vgl. Blum & Törner,1983, S. 165f):Es sei f eine auf [a,b] stetige Funktion. Dann gibt es ein # $ ]a,b[ mitb" f (#)dx = 1b - aab" f (x)dx .a!Abbildung 7: Mittelwertsatz anschaulich dargestelltDies bedeutet geometrisch, dass die orientierte Fläche unter dem Graphen von f im Intervall[a,b] die gleiche Größe wie ein Rechteck mit der Höhe f(#) und der Breite (b-a) hat (sieheAbbildung 7). f(#), der Integralmittelwert, ist die ,durchschnittliche Höhe’ dereingeschlossenen Fläche.39