Einführung in die Integralrechnung mit ... - idmthemen

IntegralrechnungAusgangsfunktion g´ die Funktion g rekonstruiert werden soll, wobei jeder Funktionswert g(x)dem orientierten Flächeninhalt entspricht, den g´(x) vom Startwert bis zur Stelle x einschließt.Danckwert & Vogel (2006, S. 103f) empfehlen nach den oben angeführten Beispielen dieIntegralfunktion einzuführen, da diese den Vorgang des Rekonstruierens von derVorraussetzung ablöst, dass die Ableitung g´ einer Funktion gegeben sein muss. Danckwert& Vogel schlagen vor, die Integralfunktion folgendermaßen zu definieren:Abbildung 6: Definition der Interalfunktion (Danckwarts & Vogel, 2006, S. 103)Die zuvor beschriebenen Beispiele sind ,Spezialfälle’, bei denen jeweils eine Funktion g (I a )zur Ableitung g´ (also I a´) rekonstruiert wird. Aus diesem Zusammenhang kann dieVermutung aufgestellt werden, dass die Berandung immer der Ableitung der Inhaltsfunktionentspricht, was mit der Aussage des ersten Teils des Hauptsatzes der Differential- undIntegralrechnung übereinstimmt:F(x) =x" f (t)dt, F´= f .aDen Lernenden wird mit diesem Zugang zur Integralrechnung ermöglicht, den Hauptsatz derDifferential- und Integralrechnung zu ,entdecken’. Nachdem die Vermutung ,Ableitung der!Integralfunktion = Berandung’ begründet wurde, kann langsam auf eine analytischeDefinition des Integralbegriffs hingearbeitet werden(vgl. Danckwerts & Vogel, 2006, S. 105ff).Dafür eignet sich zu Beginn die Frage ,Kann das Integral – definiert als orientierterFlächeninhalt unter gegebener Berandung f – beliebig gut durch Summen orientierterFlächeninhalte angenähert werden?’. Diese Aussage wurde beim Rekonstruieren einerbeliebigen, nicht linearen Berandung getroffen.An Hand eines Beispiels (z.B. f(x) = x) kann durch Bilden von Ober- und Untersummegezeigt werden, dass mit wachsender Anzahl n der Teilintervalle der Unterschied von Ober-38