Das β-Spektrometer — Messung der kontinuierlichen ...

2 Physikalische GrundlagenVor dem Zerfall befindet sich der Kern im Zustand |Ψ i 〉, durch den Zerfall gehter in den Zustand |Ψ f 〉 über und verliert dabei die Energie Q = E 0 = E β + E ν . Gefragtist nach der Wahrscheinlichkeit dafür, dass das β-Teilchen mit einem bestimmtenImpuls p emittiert wird. Da die Stärke der zugrunde liegenden Wechselwirkung sehrgering ist, sind die Voraussetzungen der Störungstheorie erster Ordnung erfüllt, sodass Fermis Goldene Regel der Quantenmechanik angesetzt werden kann. Für dieWahrscheinlichkeit N(p)dp pro Zeiteinheit dafür, dass ein Elektron bzw. Positron imImpulsintervall zwischen p und p + dp ausgesandt wird, gilt [21]:N(p)dp = 2π |〈Ψ f|H|Ψ i 〉| 2 dndE 0. (2.7)Der Übergang zwischen den beiden Zuständen wird durch den Störungsoperator Hbewirkt. Das zugehörige Matrixelement |〈Ψ f |H|Ψ i 〉| = ∫ Ψ ∗ fHΨ i da 3 = H fi ist zunächstunbekannt, da es den Hamilton-Operator enthält, der zur schwachen Wechselwirkunggehört. Es wird im Auswertungsteil als energieunabhängiger Faktor behandelt, wobeidiese Annahme streng genommen nur für sog. erlaubte Übergänge 17 gerechtfertigt ist.Für die Form der meisten β-Spektren ist alleine der statistische Faktor dndE 0verantwortlich.Er gibt die Dichte der möglichen Zustände pro Energieintervall an, in denender Übergang enden kann. Zur Berechnung der Endzustandsdichte dndE 0betrachtetman den Atomkern wieder als tiefen, dreidimensionalen Potentialtopf mit der Kantenlängea. Man findet dann für die Zahl der Zustände in einer Elementarzelle desPhasenraums für die Elektronen bzw. Positronen als auch für die Neutrinos denAusdruck 18 :dn β = a3 p 2 β2π 2 3 dp β , dn ν = a3 p 2 ν2π 2 3 dp ν .Die Impulse p β , p ν werden in einem Dreikörper-Zerfall gebildet, demnach sind dn β unddn ν voneinander statistisch unabhängig und dn kann als Produkt aus beiden angesetztwerden:dn= dn ν · dn β= a6dE 0 dE 0 4π 4 6 p2 β p 2 dp β dp νν . (2.8)dE 0Da das Neutrino nicht beobachtet werden kann, muss der Neutrinoimpuls p ν über die Kinematikaus der Energie des β-Teilchens berechnet werden. Es gilt:p ν = E νc = E 0 − E βcwobei die Ruhemasse des Neutrinos gleich Null gesetzt wurde.,17 Als erlaubt bezeichnet man Übergänge ohne Paritätsänderungen, bei denen das Leptonenpaarkeinen Bahndrehimpuls wegträgt.18 Eine ausführliche Herleitung findet man u.a. in [12] oder [22].20