Das β-Spektrometer — Messung der kontinuierlichen ...

3.5 Auflösungsvermögen des SpektrometersDas gemessene Spektrum ist demnach eine Faltung des kontinuierlichen Originalspektrumsmit einer Gaußverteilung. Dies ist als eine Überlagerung von vielen Gauß-Peaks endlicher Breite vorstellbar. Sei B(η, ɛ 0 ) die Funktion, die das kontinuierlicheβ-Spektrum theoretisch beschreibt. Dann gilt für die Faltung:C(η) =∫ ∞−∞B(t, ɛ 0 )P (η, t, σ)dt . (3.22)Um die Auflösung zu bestimmen, wird das gemessene Impulsspektrum der beidenPräparate mit der Faltungsfunktion C(η) angenähert. Der Impuls η stellt in den Formelndie Variable dar. Dieser Fit liefert direkt einen Wert für die Standardabweichungσ der Gaußverteilung, woraus die Auflösung hervorgeht. Für die folgende Auswertungwurde das am CERN 10 entwickelte Datenanalyseprogramm ROOT verwendet.Faltung des β + -Spektrums von 22 NaDie Fermi-Theorie, siehe Abschn. 2.3.3, liefert eine mathematische Beschreibung fürdie Impulsverteilung der β-Teilchen, mitN(η)dη ∼ F (Z, ɛ)η 2 (ɛ 0 − ɛ) 2 dη√ ) 2= F (Z, η)η(ɛ 2 0 − 1 + η 2 dη .Sie sinkt bei der Maximalenergie ɛ 0 auf Null ab und soll danach auch Null bleiben.Dies erreicht man durch Multiplikation mit der Stufenfunktion Θ(ɛ 0 − ɛ), mit derEigenschaft:⎧⎨1 : ɛ = √ 1 + ηΘ(ɛ 0 − ɛ) =2 ≤ ɛ 0⎩0 : ɛ = √ .1 + η 2 > ɛ 0Somit gilt für die Funktion B(η, ɛ 0 ), die das „unverschmierte“ Spektrum beschreibt:( √ ) ] 2 √B(η, ɛ 0 ) = c 1 ·[F (Z, η)η 2 ɛ 0 − 1 + η 2 · Θ(ɛ 0 − 1 + η 2 ) ,wobei η den Impuls und c 1 die Proportionalitätskonstante der Verteilung darstellt.Sowohl für das 22 Na- als auch 90 Sr-Präparat wurde für die Fermi-Korrektur F (Z, η)die Näherungsfunktion aus [11] verwendet. Das ausgeschriebene Faltungsintegral ausGl.(3.22) lautet schließlich:C(η) = c 1 ·∫∞−∞[F (Z, t)t ( 2 ɛ 0 − √ ) ] 21 + t 2 · Θ(ɛ 0 − √ 1 + t 2 ) · P (η, t, σ) dt .} {{ }} {{ } Gaußverteilung;theoretisches β-Spektrum;σ Fitparameterɛ 0 Fitparameter10 Europäische Organisation für Kernforschung in Genf. Conseil Européen pour la RechercheNucléaire. ROOT - An Object Oriented Data Analysis Framework: http://root.cern.ch/69