Das β-Spektrometer — Messung der kontinuierlichen ...

2.3 Der β-ZerfallFerner ist für eine feste Elektronen- bzw. Positronenenergie (dp ν /dE 0 ) = 1/c undman erhält nach Einsetzen in Gl.(2.8):dndE 0=a 64π 4 6 c 3 p2 β (E 0 − E β ) 2 dp β .Der Faktor a 6 im Zähler kürzt sich später heraus, da man die Wellenfunktionen imMatrixelement auf das Volumen normiert.Beim β-Zerfall ist es praktisch, die Energien E β und Impulse p β der β-Teilchen der Massem e in den natürlichen Einheiten m e c 2 und m e c anzugeben. Man setzt:Energie ɛ = E βm e c 2 , Impuls η = p em e c⇒ ɛ 2 − η 2 = 1 .Damit ergeben sich nach kurzem Umrechnen von Gl.(2.7) und unter Verwendungder Abkürzungen κ 2 = (m 5 ec 4 )/(2π 3 7 ) und für die Maximalenergie ɛ 0 = E 0 /m e c 2 =E max /m e c 2 die folgenden Darstellungen für die Form des β-Spektrums:N(η)dη = κ 2 |H fi | 2 η 2 (ɛ 0 − ɛ) 2 dη ,bzw. N(ɛ)dɛ = κ 2 |H fi | 2 ɛ η(ɛ 0 − ɛ) 2 dɛ . (2.9)Vor dem Vergleich mit dem Experiment müssen an der Spektralform noch Korrekturenvorgenommen werden. Bislang wurde nämlich die Coulomb-Wechselwirkung der Leptonenmit dem Kern nicht berücksichtigt. Sie bewirkt eine Beschleunigung der Positronenund eine Verzögerung der Elektronen. Um die Coulomb-Effekte zu kompensieren, wirdGl.(2.9) mit einem Faktor F (Z, ɛ) multipliziert. Die sog. Fermi-Funktion F (Z, ɛ) istabhängig von der Kernladungszahl des Tochterkerns 19 und der Energie des Elektrons.Sie kann für das jeweilige Z aus Tabellen entnommen werden.Damit erhält man schließlich Fermis Theorie für den β-Zerfall:N(η)dη = κ 2 |H fi | 2 F (Z, ɛ) η 2 (ɛ 0 − ɛ) 2 dη ,N(ɛ)dɛ = κ 2 |H fi | 2 F (Z, ɛ) ɛ η(ɛ 0 − ɛ) 2 dɛ . (2.10)Diese mathematische Beschreibung wird im Rahmen der Auswertung für die Approximationder gemessenen β-Spektren verwendet. Der Effekt des Coulombfelds ist in Abb.2.9 schematisch, stark übertrieben für Elektronen und Positronen dargestellt.19 denn es ist die Wirkung des Restkerns auf das emittierte Teilchen.21