Das β-Spektrometer — Messung der kontinuierlichen ...

3 Das β-Spektrometer3.1.4. Energierechnung: Klassisch vs. relativistischMit diesem Einschub möchte ich kurz auf die Notwendigkeit der relativistischen Rechnungeingehen.Wählt man einen klassischen Ansatz für die kinetische Energie der β-Teilchen, sofolgt mit der Impulsbeziehung aus Gl.(3.4):E kin,klass = 1 2· (eB r)2m e.Setzt man nun die klassische und relativistische Energie aus Gl.(3.5) ins Verhältnis,so wird deutlich, ab welchem Wert der magnetischen Flussdichte B eine klassischeRechnung fehlerhaft wird.Der Quotient der Energien wird durch die Einführung einer neuen Konstanten ϕ =2( mece r )2 wesentlich übersichtlicher und man erhält nach kurzer Rechnung:E kin,rel= 1 (√)E kin,klass B · 2ϕ · B 2 + ϕ 2 − ϕ2. (3.6)Für kleine Flussdichten B kann man die Wurzel in einer Taylor-Reihe darstellen.Man erhält mit Hilfe der binomischen Reihe 2 als lineare Näherung:√2ϕ · B 2 + ϕ 2 = ϕ ·√1 + 2B 2 /ϕ ≈ ϕ · (1 + B2ϕ ) .Eingesetzt in (3.6) ergibt sich das erwartete Ergebnis für kleine B:E kin,rel≈ 1 ()ϕ · (1 + B2E kin,klass B 2 ϕ ) − ϕ= 1 .Bei geringen Flussdichten und damit bei geringeren Energien existiert kein merklicherUnterschied zwischen der relativistischen und klassischen Energie der β-Teilchen. Diesändert sich aber mit wachsendem B, weil die klassische Energie um viele Ordnungengrößer als die relativistische Energie ist.Im Experiment wird mit Flussdichten bis zu 200 mT gearbeitet. Abb. 3.7(a) zeigt, wiesich der Quotient aus Gl.(3.6) in Abhängigkeit der Flussdichte im Intervall von 0 bis 1 Tentwickelt. In Abb. 3.7(b) wird der damit verbundene relative Fehler δ für den Bereich2 Binomische Reihe: Für |x|