Das β-Spektrometer — Messung der kontinuierlichen ...

3 Das β-SpektrometerIn Abb. 3.9 wurde der Spulenstrom I Err in Abhängigkeit der Hallspannung U H aufgetragen.Der Fehler auf I Err , welcher auf der Ungenauigkeit des Strommessgeräts 3beruht, berechnete sich über s I = 0, 3 % des Messwerts + 0, 02 mA. Sie sind kleinerals eine Punktgröße und daher in Abb. 3.9 nicht erkennbar. Die Ausgleichsgeradey = a + bx wurde mittels gewichteter linearer Regression bestimmt. DieseMethode zur Bestimmumg einer optimalen Fitgerade beruht auf Minimierung derGröße χ 2 , mit:χ 2 ≡ ∑ ( ) 2∆y i= ∑ [ ]1(yσ i σi2 i − a − bx i ) 2. (3.9)Sie gibt die gewichtete Summe der Quadrate der Abweichung der Messwerte (x i , y i ) vonihrem durch die Ausgleichsgerade zu liefernden Ersatzwert an. Durch die Forderungder Minimierung von χ 2 , erhält man nach partiellem Differenzieren die gesuchtenParameter a und b, siehe [32].Aus Abb. 3.9 geht nicht hervor, ob eine Systematik bei der Streuung der Messwertevorliegt, da die Datenpunkte zu dicht an der Fitgeraden liegen. Um dies zu überprüfen,betrachtet man die Differenz ∆I aus der gemessenen Stromstärke I Err und der überden Fit ermittelten Stromstärke I F it = a + b · U H in Abhängigkeit der HallspannungU H , mit:∆I = I Err − I F it und s ∆I =√s 2 I,Err + s 2 I,F it .Bei der Berechnung des Fehlers s I,F it ist zu beachten, dass die Fitparameter a und bder Geraden korreliert sind. Folglich berechnet sich der Fehler über die generalisierteGaußsche Fortpflanzung 4 , mits I,F it =√s 2 a + s 2 b U 2 H + 2ρ ab s a s b U Hwobei s a , s b die Standardabweichung und ρ ab den über den Fit ermittelten Korrelationskoeffizientender Parameter a und b darstellt. Die Werte sind der Fittabelleaus Abb. 3.9 zu entnehmen. Anhand der aufgetragenen Werte ∆I wird deutlich, dasssich eine natürliche Streuung um ∆I = 0 ergibt und demnach keine Systematik vorliegt.Die gesuchte Proportionalitätskonstante k kann nun über Gl.(3.8) aus der ermitteltenSteigung b der Ausgleichsgeraden berechnet werden. Mitb = (24, 30 ± 0, 03) A/V ,3 Die Gerätebeschreibung [31] des verwendeten Multimeters gibt für jeden Messbereich eine Genauigkeitdes angezeigten Messwerts an. Bei der Messung wurde im 500 mA-Bereich gemessen.4 Bei der generalisierten Gaußschen Fehlerfortpflanzung wird die Korrelation der Messwerte in einemzusätzlichen Term berücksichtigt. Eine ausführliche Darstellung zur Ermittlung der Korrelationsmatrixfindet man u.a. in [32].38