Link - Hochschule Ulm

51.6. Singulärwertzerlegung
Die Singulärwertzerlegung (Singular Value
Decomposition, kurz: SVD) einer (m, n)-
Matrix A hat die Form A = USV ∗ , wobei
U eine unitäre (m, m)-Matrix, S eine reelle
(m, n)-Diagonalmatrix und V eine unitäre
(n, n)-Matrix ist. Die Diagonalelemente von S
sind die singulären Werte s i mit s 1 ≥ s 2 ≥
· · · ≥ s min{m,n} ≥ 0. Die Anweisung [U,S,V]
= svd(A) berechnet eine Singulärwertzerlegung.
Gibt man nur eine Ausgabevariable an,
so ist dies der Vektor, der aus den singulären
Wert besteht. Die Anweisung [U,S,V]
= svd(A,0) liefert eine reduzierte Singulärwertzerlegung
(economy size), wenn m > n
ist. Dann ist U eine (m, n)-Matrix mit orthonormalen
Spalten und S hat die Größe (n, n).
Die Anweisung [U,S,V] = svd(A,’econ’)
liefert das gleiche Ergebnis wie [U,S,V] =
svd(A,0), wenn m ≥ n ist, ist aber m < n,
so hat V die Größe (n, m) mit orthonormalen
Spalten, und S ist quadratisch mit Ordnung m.
Hier ist ein Beispiel [6]:
1 >> A = [1 2 1 -2; 4 2 3 1];
2 >> [U,S,V] = svd(A,’econ’)
3 U =
4 -0.3583 -0.9336
5 -0.9336 0.3583
6 S =
7 5.7839 0
8 0 2.5586
9 V =
10 -0.7076 0.1952
11 -0.4467 -0.4497
12 -0.5462 0.0552
13 -0.0375 0.8698
Die Funktionen rank, null und orth berechnen
den Rang, eine orthonormale Basis für den
Nullraum und eine orthonormale Basis für den
Spaltenraum der Argumentmatrix. Alle drei
Funktionen basieren auf der Singulärwertzerlegung,
wobei Ein Toleranzwert proportional
zu eps verwendet wird, um zu entscheiden,
wann ein singulärer Wert als Null betrachtet
werden kann. Wir geben ein Beispiel.
1 >> A = [1 -1 1; 1 0 0; 1 1 1; 1 2
4];
2 >> [U,S,V] = svd(A)
3 U =
4 -0.1517 0.8959 -0.3525
5 -0.0612 0.4013 0.6207
6 -0.3215 0.0406 0.6671
7 -0.9327 -0.1861 -0.2134
8
9 0.2236
10 -0.6708
11 0.6708
12 -0.2236
13 S =
14 4.8956 0 0
15 0 1.6942 0
16 0 0 1.0784
17 0 0 0
18 V =
19 -0.2997 0.6798 0.6693
20 -0.4157 -0.7245 0.5498
21 -0.8587 0.1135 -0.4997
22 >> rank(A)
23 ans =
24 3
25 >> null(A)
26 ans =
27 Empty matrix: 3-by-0
28 >> orth(A)
29 ans =
30 -0.1517 0.8959 -0.3525
31 -0.0612 0.4013 0.6207
103 Copyright c○ G. Gramlich