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Matrix-Vektor Produkte, das heißt A kann explizit
oder als eine Funktion, die Matrix-Vektor
ausführt, angegeben werden. In der einfachsten
Form kann eigs wie eig aufgerufen werden:
[V,D] = eigs(A). Dann werden die sechs
größten Eigenwerte und dazugehörige Eigenvektoren
berechnet. Siehe doc eigs für weitere
Details. Diese Funktion ist eine Schnittstelle
zum ARPACK Paket, siehe [12]. Als
Beispiel berechnen wir nun die fünf größten
Eigenwerte einer dünn besetzten symmetrischen
Matrix. Zum Vergleich verwenden wir
die Funktion eig, welche erwartet, dass die
Matrix im Speichermodus full vorliegt.
1 >> A = delsq(numgrid(’N’,40));
2 >> n = length(A)
3 n =
4 1444
5 >> nnz(A)/n^2 %Anteil nicht Null.
6 ans =
7 0.0034
8 >> tic, e_alle = eig(full(A)); toc
9 Elapsed time is 10.600102 seconds.
10 >> e_alle(n:-1:n-4)
11 ans =
12 7.9870
13 7.9676
14 7.9676
15 7.9482
16 7.9354
17 >> options.disp = 0; %Keine
Ausgabe.
18 >> tic, e = eigs(A,5,’LA’,options)
;
19 >> toc %LA = Largest Algebraic
20 Elapsed time is 1.676173 seconds.
21 >> e
22 e =
23 7.9870
24 7.9676
25 7.9676
26 7.9482
27 7.9354
Mit den Funktion tic und toc kann man Zeitmessungen
durchführen. Es ist klar, dass eigs
viel schneller ist als eig und auch weniger
Speicherplatz benötigt.
51.9.3. Iterative Methoden für
Singulärwertsysteme
Die Funktion, um ein paar singuläre Werte und
singuläre Vektoren einer Matrix A ∈ C m×n iterativ
zu berechnen, heißt: sdvs. Die Funktion
svds verwendet dabei die Funktion eigs, indem
eigs auf die Hermitesche Matrix
[
Om A
angewendet wird.
A ∗ O n
]
51.10. Funktionen einer Matrix
Mit der Funktion expm kann man für eine quadratische
Matrix A die Matrixexponentialfunktion
e A , die durch
e A = E + A + 1 2! A2 + 1 3! A3 + · · ·
definiert ist, berechnen. Wir geben ein Beispiel,
siehe Beispiel 3.5 in [4].
1 >> A = [1 1; -2 4];
2 >> expm(A)
3 ans =
4 -5.3074 12.6965
5 -25.3930 32.7820
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