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gesagt: Jeder eindimensionale Unterraum
von R 2 ist Eigenraum.
Auch die Singulärwertzerlegung kann im Fall
m = n = 2 mit der Funktion eigshow visualisiert
werden.
Viele in der Praxis auftretenden Eigenwertprobleme
haben die Form eines verallgemeinerten
(allgemeinen) Eigenwertproblems: Gegeben
sind zwei quadratische Matrix A und B.
Gesucht sind Zahlen λ und Vektoren x, sodass
gilt
Ax = λBx.
Für B E ist diese Aufgabenstellung eine
Verallgemeinerung der herkömmlichen Eigenwertaufgabe;
für B = E reduziert sich
das verallgemeinerte Eigenwertproblem auf
die Standardeigenwertaufgabe. Verallgemeinerte
Eigenwertprobleme treten zum Beispiel
in mechanischen Schwingungssystemen auf;
dort ist A die Steifigkeitsmatrix und B die Massenmatrix.
Ist A oder B eine reguläre Matrix, dann kann
man das verallgemeinerte Problem auf ein gewöhnliches
reduzieren, entweder so
oder so
(B −1 A)x = λx.
(A −1 B)x = 1 λ x.
In Matlab kann auch dieses verallgemeinerte
Problem mit der Funktion eig angegangen
werden. Die Funktion eigs berechnet ein
paar Eigenwerte und Eigenvektoren, wenn gewünscht.
Aufgabe 93 (Eigensysteme) Bestimmen Sie
eine orthogonale Eigenvektorenmatrix Q, die
die Matrix
diagonalisiert.
A =
[ 3 1
1 3
49.7. Lineare Abbildungen und Matrizen
Wir visualisieren lineare Abbildungen im R 2 .
Diese können durch (2, 2)-Matrizen beschrieben
werden. Wir zeichnen ein Haus und betrachten
das „neue“ Haus nach linearen Abbildungen.
Die folgende Matlab-Funktion zeichnet
ein Haus in der Ebene, indem sie Datenpunkte,
die in der Matrix H angegeben werden
müssen, miteinander verbindet.
1 function plotHaus(H)
2 %-Zeichnet ein Haus.
3 x = H(1,:)’; y = H(2,:)’;
4 plot(x,y,’o’,x,y,’r-’)
5 axis([-10 10 -10 10]); axis square
;
Die beiden Anweisungen
1 >> H =
[-6,-6,-7,0,7,6,6,-3,-3,0,0,-6;
-7,2,1,8,1,2,-7,-7,-2,-2,-7,-7]
2 >> plotHaus(H)
erzeugen das Bild 30.
Um nun lineare Abbildungen zu „sehen“ , müssen
wir eine lineare Abbildung als Matrix A
definieren und diese mit H multiplizieren. Als
Beispiel betrachten wir eine Drehung um 60 ◦
und eine Spiegelung an der x-Achse. Im ersten
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