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√<br />
mit PA = (x − 0) 2 + (y − 5) 2<br />
PB = √ (x − 3) 2 + (y − 2) 2 .<br />
und<br />
69.5. Überblick über alle Funktionen zur<br />
Optimierung<br />
Aufgabe 211 (fmincon) Finden Sie die Lösung<br />
des nichtlinearen Optimierungsmodells<br />
Minimiere<br />
(x 0 , . . . , y 4 )<br />
u.d.N.<br />
z 1 + z 2 + z 3 + z 4<br />
(x 1 − 1) 2 + (y 1 − 4) 2 ≤ 4<br />
(x 2 − 9) 2 + (y 2 − 5) 2 ≤ 1<br />
2 ≤ x 3 ≤ 4<br />
−3 ≤ y 3 ≤ −1<br />
6 ≤ x 4 ≤ 8<br />
−2 ≤ y 4 ≤ 2<br />
mit z i = √ (x 0 − x i ) 2 + (y 0 − y i ) 2 .<br />
Aufgabe 212 (fmincon) Finden Sie die Lösung<br />
des nichtlinearen Optimierungsmodells<br />
Minimiere<br />
(x 1 , x 2 ) ∈ R 2 x 1 + x 2<br />
u.d.N.<br />
(x 1 − 1) 2 + x 2 2 ≤ 2<br />
(x 1 + 1) 2 + x 2 2 ≥ 2<br />
Aufgabe 213 (fmincon) Das folgende nichtlineare<br />
Optimierungsmodell<br />
Minimiere<br />
(x 1 , x 2 ) ∈ R 2 x 1<br />
u.d.N.<br />
(x 1 + 1) 2 + x 2 2 ≥ 1<br />
x 2 1 + x2 2 ≤ 2<br />
hat zwei lokale Minimalstellen, nämlich<br />
x ∗ 1 = (−1, 1) und x∗ 2<br />
= (−1, −1). Berechnen Sie<br />
mit der Function fmincon beide Minima.<br />
Mit doc optim (help optim) erhalten Sie<br />
einen Überblick über alle Funktionen der Optimization<br />
Toolbox.<br />
70. Lineare Ausgleichsaufgaben<br />
Lineare Ausgleichsaufgaben können mit Matlab<br />
auf mehrere Arten gelöst werden. Zum<br />
Einem ist da der \-Operator (Backslash-<br />
Operator), siehe Abschnitt 49.4 und Abschnitt<br />
50.1.2. Zum Anderen gibt es die Funktionen<br />
pinv und inv.<br />
Liegt eine überbestimmte lineare Ausgleichsaufgabe<br />
Ax b vor, so gibt es stets eine Lösung.<br />
In Matlab können wir zur Berechnung<br />
einer Lösung den Backslash-Operator \ verwenden.<br />
Ist die Ausgleichsaufgabe eindeutig<br />
lösbar, weil Rang(A) = n ist, so bekommt man<br />
mit der Anweisung A\b diese eindeutige Lösung.<br />
Ist Rang(A) < n, so liefert A\b eine Basislösung.<br />
In jedem Fall bekommt man mit A\b<br />
eine Lösung der Ausgleichsaufgabe.<br />
Ist Rang(A) = n, so können Sie alternativ<br />
die eindeutige Lösung auch mit x=pinv(A)*b<br />
oder x=inv(A’*A)*A’*b lösen.<br />
Ist Rang(A) < n, so liefert x=pinv(A)*b<br />
die Lösung kleinster Länge in Alternative<br />
zu A\b, wo man eine Basislösung<br />
bekommt. x=inv(A’*A)*A’*b funktioniert<br />
nicht. Warum?<br />
Zusammenfassend ist also:<br />
• Eindeutige Lösung: x = A\b =<br />
pinv(A)*b = inv(A’*A)*A’*b.<br />
176 Copyright c○ G. Gramlich
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