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Aufgabe 99 (Vektornormen) Berechnen Sie
für den Vektor x = (1, −2, 3) die Normen ‖x‖ p
für p = 1, 1.5, 2, . . . 9.5 und für p = ∞.
Aufgabe 100 (Vektornormen) Berechnen Sie
die 1, 2 und ∞-Norm der Vektoren v 1 = (2, 1),
v 2 = (1, 0) und v 3 = (1, −1).
Die p-Norm einer Matrix ist definiert durch
‖A‖ p = max
xo
‖Ax‖ p
‖x‖ p
.
Die 1- und ∞-Norm einer (m, n)-Matrix A sind
(Maximale Spaltensumme)
‖A‖ 1 = max
1≤ j≤n
m∑
|a i j |
i=1
und (Maximale Zeilensumme)
‖A‖ ∞ = max
1≤i≤m
n∑
|a i j |.
j=1
Die 2-Norm von A kann berechnet werden
als der größte singuläre Wert von A, also
max(svd(A)). Matrizennormen werden ebenfalls
mit der Funktion norm berechnet. Für Matrizen
funktioniert der Aufruf norm(A,p) mit
p=1,2,inf und p=’fro’, wobei
‖A‖ F = ( m ∑
i=1
n∑
|a i j | 2) 1/2
j=1
die Frobenius-Norm ist. Beachten Sie: Die
Funktion norm ist ein Beispiel einer Funktion
mit einem Argument, das einen unterschiedlichen
Datentyp haben kann; hier double und
char (String). Hier noch ein Beispiel:
1 >> A = [1 2; 3 4];
2 >> [norm(A,1) norm(A,2) norm(A,inf
) norm(A,’fro’)]
3 ans =
4 6.0000 5.4650 7.0000
5 5.4772
Ist das Berechnen der Matrixnorm für p = 2 zu
aufwendig, so kann mit der Funktion normest
ein Näherungswert berechnet werden. Die Tabelle
28 zeigt die Matrizennormen übersicht-
lich.
Matlab Bedeutung
norm(A)=norm(A,2) ‖A‖ 2
norm(A,1) ‖A‖ 1
norm(A,inf)
‖A‖ ∞
norm(A,’fro’) ‖A‖ F
Tabelle 28: Matrizennormen
Aufgabe 101 (Matrizennormen) Berechnen
Sie die 1-, 2-, ∞- und Frobenius-Norm für die
Matrizen
und
[
A =
0 1
−1 0
C =
] [ 1 2
, B =
2 2
[ 1 4
1 2
51.2. Konditionszahlen
Für eine reguläre Matrix A ist
]
.
κ(A) = ‖A‖ · ‖A −1 ‖ ≥ 1
die Konditionszahl bezüglich der Inversion.
Die Zahl misst die Sensitivität der Lösung
eines linearen Gleichungssystems Ax =
]
99 Copyright c○ G. Gramlich