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68. Nichtlineare Gleichungen (2)
69. Optimierung (Teil 2)
Mit der Funktion fsolve, die zur Optimization
Toolbox gehört, kann man nichtlineare Gleichungssysteme
lösen.
Wir wollen eine Nullstelle des nichtlinearen
Gleichungssystems
16x 4 + 16y 4 + z 4 − 16 = 0
x 2 + y 2 + z 2 − 3 = 0
x 3 − y = 0
mit drei Gleichungen und drei Variablen finden.
Hierzu starten wir den iterativen Algorithmus
mit x 0 = (1, 1, 1) und definieren die vektorwertige
Funktion F : R 3 → R 3 , F(x, y, z) =
(16x 4 +16y 4 +z 4 −16, x 2 +y 2 +z 2 −3, x 3 −y) in
dem Function-File MyFunction.m wie folgt:
1 function F = MyFunction(x)
2 F = [16*x(1)^4+16*x(2)^4+x(3)
^4-16;
3 x(1)^2+x(2)^2+x(3)^3-3;
4 x(1)^3-x(2)];
Dann rufen wir den Löser fsolve auf und erhalten
eine Nullstelle des Systems:
1 >> [x,fval] = fsolve(@MyFunction,
x0)
2 Optimization terminated: ...
3 x =
4 0.8896
5 0.7040
6 1.1965
7 fval =
8 1.0e-012 *
9 0.1243
10 0.0022
11 0.0022
Mit der Optimization Toolbox kann man Optimierungsaufgaben
lösen, insbesondere solche,
wo Nebenbedingungen (Restriktionen) auftreten.
Diese sind in der Praxis auch meist vorhanden.
Sie treten linear als auch nichtlinear
auf. Für folgende Optimierungsmodelle stehen
Matlab-Funktionen zur Verfügung: Lineare
Optimierung, Quadratische Optimierung,
Minmax Optimierung, Mehrzielige Optimierung,
Semiinfinite Optimierung und Nichtlineare
Optimierung. Siehe doc optim (help
optim) für eine komplette Übersicht über alle
in Matlab lösbaren Optimierungsmodelle.
Zu beachten ist, dass jedes Optimierungsproblem
als Minimierungsproblem formuliert
werden muss.
69.1. Lineare Optimierung
An einem einfachen Beispiel zur Linearen Optimierung
zeigen wir, wie man unter Matlab
solche Probleme löst. Als Beispiel betrachten
wir die Optimierungsaufgabe (u.d.N. steht als
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