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wie folgt (zum Beispiel in der Funktion bcs)
programmiert:
1 function res = bcs(yx0,yxf)
2 res = [yx0(1);yxf(1)-1];
Als Startlösungsfunktionen wählen wir die
Nullfunktion.
1 function yinit = guess(x)
2 yinit = [0;0];
Die folgenden Matlab-Zeilen berechnet die
Lösung und stellt sie grafisch dar.
1 solinit = bvpinit(linspace(0,1,5),
@guess);
2 sol = bvp4c(@odes,@bcs,solinit);
3 xint = linspace(0,1);
4 sxint = deval(sol,xint);
5 plot(xint,sxint(1,:))
Der Aufruf der Funktion bvpinit kreiert die
Struktur solinit, welche die Daten beinhaltet,
die durch Auswerten von guess an fünf
äquidistanten Punkten von 0 bis 1 berechnet
werden; in diesem Fall alle Null.
Im Allgemeinen hat ein Aufruf von bvp4c die
Form:
1 sol = bvp4c(@odefun,@bcfun,solinit
,
2 options,p1,p2,...)
In odefun wird das Differenzialgleichungssystem
ausgewertet, in bcfun werden die Randbedingungen
ausgewertet, solinit beschreibt
den Anfangszustand, in options können Optionen
übergeben werden und die Eingabeargumente
p1, p2 erlauben zusätzliche Parameter.
Zusammenfassend sind für die Durchführung
folgende Schritte empfehlenswert:
1. Schreiben Sie das Problem als Randwertproblem
erster Ordnung.
2. Schreiben Sie eine Matlab-Funktion, in
der das System erster Ordnung definiert ist.
3. Schreiben Sie eine Funktion für die Randbedingungen.
4. Schreiben Sie eine Funktion für die Startnäherung.
5. Rufen Sie den RWA-Löser bvp4c auf.
6. Zeigen Sie die Resultate.
Aufgabe 139 (Randwertaufgaben) Wir betrachten
die Randwertaufgabe
⎧
⎪⎨ y ′′ = −y
RWA :
0 ≤ x ≤ π/2.
⎪⎩ y(0) = 3, y(π/2) = 7
(a) Zeigen Sie, dass
y(x) = 7 sin(x) + 3 cos(x), x ∈ [0, π/2]
die eindeutige Lösung ist.
(b) Bestätigen sie (a), indem Sie die Lösung
mit der Funktion bvp4c numerisch berechnen.
62.3. Partielle Differenzialgleichungen
Mit der Funktion pdepe kann man partielle
Differenzialgleichungen lösen. Matlabs
pdepe löst eine Klasse von parabolischen bzw.
elliptischen partiellen Differenzialgleichungssysteme
(PDE: Partial Differential Equation).
Die allgemeine Klasse hat die Form:
c(x, t, u, u x )u t =
x −m (x m f(x, t, u, u x )) x + s(x, t, u, u x ),
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