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werden:
⎧
d ⎪⎨
RWA :
dx
y(x) = f(x, y(x))
⎪⎩ g(y(x 0 ), y(x f )) = 0
x 0 ≤ x ≤ x f
Hier ist, wie auch bei Anfansgwertaufgaben,
y eine unbekannte vektorwertige Funktion und
f eine gegebene vektorwertige Funktion von
x und y. Die Lösung wird auf dem Intervall
[x 0 , x f ] erwartet und die gegebene Funktion g
spezifiziert die Nebenbedingungen. Bei Randwertaufgaben
ist es üblich, die unabhängige
Variable mit x statt mit t zu bezeichnen, weil
sie bei Anwendungen meist eine Ortsvariable
ist. Dies ist auch konsistent mit der Matlab-
Dokumentation. Das Lösen von Randwertaufgaben
ist im Allgemeinen anspruchsvoller als
das Lösen von Anfangswertaufgaben. Insbesondere
ist es nicht ungewöhnlich, dass eine
Randwertaufgabe mehrere Lösungen hat. Daher
ist es beim Aufruf von bvp4c notwendig,
eine Schätzung für die Lösungsfunktion mitanzugeben.
Als Beispiel betrachten wir die Zweipunkt-
Randwertaufgabe:
⎧
⎪⎨ u ′′ = 6x
RWA : ⎪⎩ u(0) = 0 u(1) = 1
0 ≤ x ≤ 1.
Diese ist analytisch lösbar und hat die eindeutige
Lösung
u(x) = x 3 .
Dies sieht man so. Die allgemeine Lösung der
Differenzialgleichung u ′′ = 6x ist
u(x) = x 3 + c 1 x + c 2 .
Die Randbedingungen bestimmen dann die
Konstanten c 1 und c 2
0 = u(0) = c 2 ⇒ c 2 = 0
1 = u(1) = 1 + c 1 ⇒ c 1 = 0
Wir verwenden nun bvp4c, um diese Lösung
zu bestätigen. Im einfachsten Fall hat bvp4c
drei Funktionsargumente: Eine Funktion, in
der das Differenzialgleichungssystem definiert
ist, eine Funktion mit den Randbedingungen
und eine dritte Funktion, die ein Startgitter sowie
eine Anfangsvermutung für die Lösungsfunktion
auf diesem Gitter beinhaltet. Das Differenzialgleichungssystem
wird genauso gehandhabt
wie bei den Anfangswertproblemen,
nämlich als System erster Ordnung. Es ist daher
als erstes notwendig, die Differenzialgleichung
zweiter Ordnung in ein System erster
Ordnung umzuschreiben. Wir schreiben gleich
das ganze Randwertproblem zweiter Ordnung
in ein System erster Ordnung. Mit den Definitionen
y 1 (x) = u(x) und y 2 (x) = u ′ (x) erhalten
wir die Randwertaufgabe erster Ordnung:
⎧
y
⎪⎨
′ 1 (x) = y 2(x)
RWA : y ′ 2
(x) = 6x 0 ≤ x ≤ 1
⎪⎩ y 1 (0) = 0, y 1 (1) = 1
Das Differenzialgleichungssystem wird nun in
der Funktion odes definiert
1 function dydx = odes(x,y)
2 dydx = [y(2);6*x];
Die Randbedingungen werden durch eine Residuenfunktion
ausgedrückt. Die beiden Randbedingungen
y 1 (0) = 0, y 1 (1) = 1 werden dann
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