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neare Gleichungssystem
−2x 3 + 7x 5 = 12
2x 1 + 4x 2 − 10x 3 + 6x 4 + 12x 5 = 28
2x 1 + 4x 2 − 5x 3 + 6x 4 − 5x 5 = −1
mit der erweierten Matrix
[
A b
]
=
⎡⎢⎣
0 0 −2 0 7 12
2 4 −10 6 12 28
2 4 −5 6 −5 −1
Dieses lineare Gleichungssystem hat unendlich
viele Lösungen. Mit den Parametern t ∈ R
und s ∈ R können die Lösungen wie folgt parametrisiert
angegeben werden:
x 1 = 7 − 2x 2 − 3x 4
x 2 = t
x 3 = 1
x 4 = s
x 5 = 2
Mit rref können wir die Lösungen bestätigen:
1 >> Ab = sym([0 0 -2 0 7 12; 2 4
-10 6 12 28; 2 4 -5 6 -5 -1])
2 Ab =
3 [ 0, 0, -2, 0, 7, 12]
4 [ 2, 4, -10, 6, 12, 28]
5 [ 2, 4, -5, 6, -5, -1]
6 >> rref(Ab)
7 ans =
8 [ 1, 2, 0, 3, 0, 7]
9 [ 0, 0, 1, 0, 0, 1]
10 [ 0, 0, 0, 0, 1, 2]
Die Lösungen erhalten wir auch wie folgt
1 >> maple(’gausselim’,Ab)
2 ans =
⎤
⎥⎦ .
3 [ 2, 4, -10, 6, 12, 28]
4 [ 0, 0, -2, 0, 7, 12]
5 [ 0, 0, 0, 0, 1/2, 1]
6 >> maple(’backsub’,ans)
7 ans =
8 [ 7-2*_t2-3*_t1,_t2,1,_t1,2]
Dagegen liefern die Anweisungen
1 >> A = Ab(:,1:5)
2 A =
3 [ 0, 0, -2, 0, 7]
4 [ 2, 4, -10, 6, 12]
5 [ 2, 4, -5, 6, -5]
6 >> b = Ab(:,6)
7 b =
8 [ 12]
9 [ 28]
10 [ -1]
11 >> A\b
12 ans =
13 [ 7]
14 [ 0]
15 [ 1]
16 [ 0]
17 [ 2]
nur die Lösung x = (7, 0, 1, 0, 2). Die Parameter
t und s sind hier gleich Null gewählt.
Lösen wir das Beispiel numerisch, so erhalten
wir die spezielle Lösung x = (0, 0, 1, 7/3, 2),
wie die folgende Zeile zeigt:
1 >> double(A)\double(b)
2 ans =
3 0
4 0
5 1.0000
6 2.3333
7 2.0000
Aufgabe 98 (Lineare Systeme) Berechnen Sie
95 Copyright c○ G. Gramlich