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6 >> x = pcg(A,b);
7 pcg stopped at iteration 20
without
8 converging to the desired
tolerance
9 1e-006 because the maximum number
10 of iterations was reached.
11 The iterate returned (number 19)
12 has relative residual 0.12
13 >> x = pcg(A,b,1e-6,100);
14 pcg converged at iteration 92 to a
15 solution with relative residual
16 9.8e-007
Im ersten Aufruf haben wir nur die Systemmatrix
A und die rechte Seite b eingegeben
und gesehen, dass die konjugierte Gradientenmethode
nicht konvergiert mit standardmäßig
eingestellten 20 Iterationen und dem standard
Abbruchkriterium von 10 −6 . Ein erneuerte
Versuch führt nach 92 Iterationen zum Erfolg,
wobei wir die Iterationsgrenze auf 100
gesetzt haben. Der Toleanzwert 10 −6 wurde erfüllt.
Für diese Matrix kann man zeigen, dass M
= diag(diag(A)) ein guter Vorkonditionierer
ist. Übergeben wir der Funktion pcg diese
Matrix als fünftes Argument, so erreichen wir
eine effiziente Reduktion in der Anzahl der Iterationen:
1 >> [x,flag,relres,iter] = pcg(A,b
,1e-6,100,diag(diag(A)));
2 >> flag, relres, iter
3 flag =
4 0
5 relres =
6 8.2661e-007
7 iter =
8 28
Beachten Sie, dass keine Bildschirmausgabe
ausgegeben wird, wenn wenn man mehr
als ein Ausgabeargument im Funktionsaufruf
angibt. Der Wert 0 der Variablen flag
gibt an, dass das Verfahren konvergiert ist
mit einem relativen Residuum relres =
norm(b-A*x)/nomrm(b) nach iter Iterationen.
Die anderen Funktionen der Tabelle 29 werden
(bis auf gmres) genauso aufgerufen und
gehandelt.
Mit doc sparfun (help sparfun) bekommen
Sie eine komplette Liste über alle Funktionen,
die bezüglich Sparserechnungen interessant
sind, so auch die Funktionen für iterative
Methoden von linearen Gleichungssystemen.
Aufgabe 110 (Konjugierte Gradientenmethode)
Berechnen Sie mit pcm die Lösung von
⎡
⎢⎣
2 1 0
1 2 1
0 1 2
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣
x 1
x 2
x 3
⎤⎥⎦
=
⎡
⎢⎣
1
1
1
A x b
51.9.2. Iterative Methoden für Eigensysteme
Die Funktion eigs berechnet auswählbare Eigenwerte
und Eigenvektoren des Standardeigenwertproblems
Ax = λx oder der verallgemeinerten
Eigenwertaufgabe Ax = λBx,
wobei B eine reelle symmetrische positiv definite
Matrix ist. Im Gegensatz dazu berechnet
die Funktion eig immer das gesamte Eigensystem,
also alle Eigenwerte und Eigenvektoren.
Wie die iterativen Löser von linearen
Gleichungssystemen, so benötigt eigs nur
⎤
⎥⎦ .
106 Copyright c○ G. Gramlich