Theoretische Untersuchung magnetoresistiver Manganate

Operation Symbol KoordinatentransformationInversion I (x, y, z) → (−x, −y, −z)4-zählige Drehung C x 4(x, y, z) → (x, −z, y)um die x-Achse4-zählige Drehung C z 4(x, y, z) → (−y, x, z)um die z-Achse3-zählige Drehung um C d 3(x, y, z) → (z, x, y)die RaumdiagonaleTabelle 1.1: Vier Symmetrieoperationen, die die Gruppe O h generieren, zugehörige, von derSchönfließschen Notation abgeleitete Kürzel und Wirkung der Operationen auf den Ortsvektor(x, y, z).Drehungen vertauscht, kann die Gruppe O h als direktes Produkt der von der Inversionerzeugten Gruppe C i und der nur von den Drehungen erzeugten Gruppe O dargestelltwerden, O h = O ⊗ C i . Die Gruppe C i hat zwei eindimensionale irreduzibleDarstellungen mit den Charakteren 1 und −1. Dies entspricht der Tatsache, daß sichjede Funktion als Summe einer unter Inversion geraden und einer ungeraden Funktionschreiben läßt. Dementsprechend besitzt die Gruppe O h genau doppelt so vieleirreduzible Darstellungen wie O. Zu jeder Darstellung von O gibt es je eine geradeund eine ungerade Darstellung von O h . Die Gruppe O hat zwei eindimensionale(A 1 und A 2 ), eine zweidimensionale (E) und zwei dreidimensionale (T 1 und T 2 ) irreduzibleDarstellungen. Tabelle 1.2 listet diese Darstellungen, die zugehörigen Basisfunktionenund deren Transformationsverhalten unter Verwendung der Notationvon Griffith [39] auf.Bildet man das direkte Produkt zweier irreduzibler Darstellungen beziehungsweiseder zugrundeliegenden Hilberträume, so ergibt sich eine neue, meist reduzibleDarstellung, die wieder in die bekannten irreduziblen Darstellungen zerlegt werdenkann. Mit Hilfe passender Kopplungskoeffizienten können auf diese Weise aus einemgegebenen Satz von Basisfunktionen neue Basisfunktionen auf dem Produktraumkonstruiert werden. Das bekannteste Beispiel für ein derartiges Vorgehen istdie Kopplung zweier Spins zu Eigenzuständen des Gesamtspins. Die Kopplungskoeffizientenheißen in diesem Falle Clebsch-Gordan-Koeffizienten [76].Bezogen auf die Gruppe O kann man beispielsweise das Produkt E ⊗ T 1 bilden. Esergibt sich eine sechsdimensionale Darstellung, die in T 1 und T 2 zerfällt. Wendet mandie Generatoren der Gruppe auf die einzelnen Faktoren an, so erkennt man leicht,daß die Funktionenx ′ = − 1 2 θ ⊗ x + √32ε ⊗ xy ′ = − 1 √2 θ ⊗ y − 32ε ⊗ y (1.1)z ′ = θ ⊗ z11