Theoretische Untersuchung magnetoresistiver Manganate

Basis ist dieser folglich bezüglich der Koeffizienten α ˜νν zu minimieren. Unter Berücksichtigungder Orthonormalität der Basis {| ˜ν〉}, 〈 ˜ν ′ | ˜ν〉 = ∑ D ν−1ν=0α ∗˜ν ′ ν α ˜νν = δ˜ν ′ ˜ν, findetman‖|ψ〉 − | ˜ψ〉‖ 2 = 〈ψ|ψ〉 − 〈 ˜ψ|ψ〉 − 〈ψ| ˜ψ〉 + 〈 ˜ψ| ˜ψ〉[ ]Dr −1 D ˜ν −1= 1 − ∑γνrα ∗ ˜νν α ∗˜νν ′γ ν ′ r + H.c.r=0= 1 −+D r −1∑r=0D r −1∑r=0∑˜ν=0D ˜ν −1∑˜ν, ˜ν ′ =0D ˜ν −1∑˜ν=0= 1 − Tr(αρα † ) .D ν −1∑ν,ν ′ =0D ν −1∑ν,ν ′ ,ν ′′ =0D ν −1∑ν,ν ′ =0γ ∗ ν ′′ r α ˜ν ′ ν ′′α∗˜ν ′ ν α ˜ννα ∗˜νν ′γ ν ′ rα ˜νν γ ∗ νrγ ν ′ r α∗˜νν ′(C.4)In der letzten Zeile wurden die Koeffizienten α ˜νν zu einer Matrix α zusammengefaßtund die durchD r −1ρ = ∑ γνrγ ∗ ν ′ r(C.5)r=0definierte Dichtematrix von |ψ〉 bezüglich {|ν〉} eingeführt. Wären die Dimensionender Räume H ν und H ˜ν gleich, D ν = D ˜ν , so beschriebe α lediglich eine Ähnlichkeitstransformationund obige Spur wäre identisch zur Spur der Dichtematrix, die wegender geforderten Normierung des Zustands |ψ〉 gleich eins ist. Der Abstand zwischen|ψ〉 und | ˜ψ〉 wäre also null. Sämtliche D ν Eigenwerte der Dichtematrix liegen zwischennull und eins und summieren sich zu eins. Man erkennt daher unmittelbar,daß bei reduzierter Dimension D ˜ν < D ν der Abstand ‖|ψ〉 − | ˜ψ〉‖ genau dann minimalist, wenn die Zeilen von α den Eigenvektoren von ρ zu den D ˜ν betragsgrößtenEigenwerten w ˜ν entsprechen. Der durch die Projektion verursachte Fehler bemißt sichnach der Summe der unberücksichtigten D ν − D ˜ν Eigenwerte.Bei den mit Renormierung verbundenen Dichtematrix-Verfahren benutzt man einesolche Art der Optimierung, um einzelne Eigenzustände eines quantenmechanischenModells auf einem schrittweise vergrößerten Gitter in einem Raum konstanterDimension zu approximieren [132, 99]. Ziel ist es üblicherweise, Energien, Eigenzuständeoder Korrelationen im Limes unendlich großen Gitters zu ermitteln. Fürviele, hauptsächlich eindimensionale Systeme erwies sich diese Methode als sehr erfolgreich,auf höherdimensionalen Gittern versagt das Renormierungsverfahren dagegenmeist.C.2 Optimale phononische BasiszuständeBei Systemen, in denen bosonische Freiheitsgrade ein Rolle spielen, ist bereits derFock-Raum für ein endliches Gitter unendlichdimensional. Zhang et al. [137] schlu-90