Theoretische Untersuchung magnetoresistiver Manganate

C Optimierung phononischer Basiszuständemit Dichtematrix-VerfahrenBei der exakten, numerischen Diagonalisierung wechselwirkender Elektron-PhononundSpin-Phonon-Systeme ist man stets an die Beschränkung des Hilbertraumes aufendliche Dimensionen gebunden. Der unendlichdimensionale Raum der Phononenmuß also bei allen derartigen Verfahren abgeschnitten werden, möglichst ohne dasErgebnis der Rechnung zu beeinflussen. Im folgenden soll gezeigt werden, wie sichVerfahren der Dichtematrix-Renormierung [132, 99], die in den letzten Jahren sehrweite Verbreitung und vielfältige Anwendungen gefunden haben, erfolgreich auf diesesProblem anwenden lassen [128, 131].C.1 Grundlagen von Dichtematrix-MethodenIn einem Produktraum H = H ν ⊗ H r der Dimension D = D ν D r sei ein beliebiger,normierter quantenmechanischer Zustand |ψ〉 gegeben, der in der Basis {|ν〉|r〉} entwickeltwerde,|ψ〉 =D r −1∑r=0D ν −1∑ γ νr |ν〉|r〉 .ν=0(C.1)Der D ν -dimensionale Teilraum H ν soll durch einen Unterraum H ˜ν ersetzt werden,dessen Dimension im allgemeinen kleiner als die von H ν ist, D ˜ν < D ν . Führt man fürdiesen Unterraum eine Basis {| ˜ν〉} ein,| ˜ν〉 =D ν −1∑ α ˜νν |ν〉 ,ν=0(C.2)so ist die Projektion von |ψ〉 auf den Unterraum ˜H = H ˜ν ⊗ H r ⊂ H durch| ˜ψ〉 ==D r −1∑r=0D r −1∑r=0D ˜ν −1 D ν −1∑ ∑˜ν=0 ν ′ =0D ˜ν −1∑˜ν=0D ν −1∑ν,ν ′ =0α ∗˜νν ′γ ν ′ r | ˜ν〉|r〉α ˜νν α ∗˜νν ′γ ν ′ r |ν〉|r〉(C.3)gegeben. Bei festgehaltener Dimension D ˜ν gilt der Raum H ˜ν beziehungsweise die Basis{| ˜ν〉} als optimal, wenn durch obige Projektion möglichst wenig Information überden Zustand |ψ〉 verloren geht. Als Maß der Übereinstimmung zwischen |ψ〉 und | ˜ψ〉eignet sich der Betrag ihres Abstandes ‖|ψ〉 − | ˜ψ〉‖ 2 . Zur Bestimmung der optimalen89