Theoretische Untersuchung magnetoresistiver Manganate

¯SQ ¯S (y)121112+ 1 2 y32− 1 2 + 3 4 y + 3 4 y22 −1 − 5 4 y + 7 4 y2 + 3 2 y352− 1748 − 30572 y − 395144 y2 + 17536 y3 + 12536 y425324 − 3512 y − 1947128 y2 − 685128 y3 + 1875128 y4 + 1125128 y5Tabelle B.1: Die in H eff auftretenden Polynome Q ¯S (y) für verschiedene Werte von ¯S.Um den effektiven Hamilton-Operator des Zwei-Platz-Systems,H eff = −t P 12 Q ¯S (y) ,(B.9)aus Gleichung (6) in Referenz [93] zu reproduzieren, ist der in ˜t B auftretende Gesamtspindurch das Produkt y = S i · ¯S j /( ¯S( ¯S − 1/2)) auszudrücken. In expliziter Formkann dies mit Hilfe Lagrangescher Interpolations-Polynome erreicht werden,2 ¯S−1/2Q ¯S (y) = ∑ ˜t B /tS T =1/22 ¯S−1/2∏j=1/2j̸=S Ty − y jy ST − y jy j = j(j + 1) − ¯S( ¯S + 1) − ( ¯S − 1/2)( ¯S + 1/2)2 ¯S( ¯S − 1/2)(B.10), (B.11)alternativ gilt die in Referenz [93], Gleichung (7), angegebene Rekursionsformel. Fürdie Werte ¯S =2 1 bis 3 findet man die in Tabelle B.1 angegebenen Polynome Q ¯S (y).Natürlich erhält man das falsche Ergebnis, wenn man bei der Berechnung von Q ¯S (y)auf das Matrixelement ˜t A zurückgreift, da bei dessen Herleitung die Permutation P 12und der zugehörige Phasenfaktor nicht berücksichtigt wurden.Ein Zusammenhang zwischen diesem Phasenfaktor und der im klassischen Limes,S → ∞, auftretenden Berry-Phase ist nicht erkennbar. Vielmehr deuten die damit verbundenenSchwierigkeiten darauf hin, daß sich der abgeleitete effektive Hamilton-Operator H eff , Gleichung (B.9), schwer auf den Fall eines größeren Gitters verallgemeinernläßt. Hinzu kommt, daß die durch Kopplung eines Elektrons und eineslokalisierten Spins gebildeten Spin- ¯S Teilchen“ nach wie vor fermionische Vertauschungsrelationenerfüllen müssen, was mit gewöhnlichen Permutationsoperatoren”nicht erreicht werden kann. Der von Müller-Hartmann und Dagotto [93, Gl. (6)] angegebeneAusdruckH eff = −t ∑ P ij Q ¯S (y)(B.12)〈ij〉ist deshalb ungeeignet, quantenmechanischen Doppelaustausch auf einem Gitter zubeschreiben.87