Theoretische Untersuchung magnetoresistiver Manganate

gen deshalb die Verwendung der Dichtematrix zur Optimierung und Beschränkungdes lokalen Hilbertraumes vor.Betrachtet man ein System von N Gitterplätzen, die alle einen phononischen Freiheitsgrad|ν i 〉, ν i = 0 . . . ∞, und eine endliche Zahl anderer Zustände |r i 〉, zum BeispielSpins oder Elektronen, beitragen, so wird der Hilbertraum des Systems durchdie Basis { ⊗ N−1i=0 |ν i〉|r i 〉} aufgespannt. Um einen auf diesem Raum operierendenHamilton-Operator numerisch zu diagonalisieren, muß man sich natürlich auf einenendlichdimensionalen Unterraum beschränken. Interessiert man sich etwa für denGrundzustand des Holstein-Modells spinloser Fermionen,H Hsf = −t ∑i[c † i c i+1 + H.c. ]+ gω 0 ∑i(b i † + b i )(n i − 1 2 ) + ω 0 ∑ b i † b i ,i(C.6)könnte man den durch |ν i 〉 = (ν i !) −1/2 (bi †)ν i|0〉 gebildeten Raum begrenzen, indemman nur Zustände mit ν i < D i < ∞ zuläßt. Im einfachsten Falle genügt die WahlD i = M ∀ i, was für die Dimension des gesamten phononischen Hilbertraumes D ph =M N ergibt. Berücksichtigt man allerdings, daß es sich bei den Zuständen { ⊗ N−1i=0 |ν i〉}um Eigenzustände des phononischen Hamilton-Operators H ph = ω 0 ∑ N−1i=0 b† i b ihandelt,erscheint eine Abschneideprozedur, die sich an der Energie orientiert, wesentlichsinnvoller. Bisher wurde deshalb in einer Reihe numerischer Arbeiten die Bedingung∑ N−1i=0 ν i < M benutzt, die auf D ph = ( N+M−1) N führt [11].Für schwach wechselwirkende Systeme genügt meist schon eine kleine AnzahlM an Phononen, um Grundzustände oder niedrige Anregungen mit hervorragenderGenauigkeit zu berechnen. Mit zunehmender Kopplungstärke benötigt man dagegenbei vielen Modellen eine große Zahl der obigen, ursprünglichen oder reinen“Phononzustände |ν i 〉, was selbst neueste Höchstleistungsrechner überfordert. ”Unter Umständen können derartige Schwierigkeiten durch geeignete Transformationendes untersuchten Hamilton-Operators umgangen werden. Beispielsweise könnteman zu Schwerpunktkoordinaten übergehen, oder mit geeigneten kohärenten Oszillatorzuständenrechnen. Im allgemeinen erscheint es jedoch wünschenswert, die demModell am besten angepaßte Basis automatisch mit Hilfe eines numerischen Verfahrenszu erzeugen.Bei dem bisherigen, von Zhang et al. [137] vorgeschlagenen Verfahren wird dasPhonon-System in das Produkt eines großen“ und vieler kleiner“ Gitterplätze zerlegt.Die phononischen Freiheitsgrade aller Gitterplätze werden durch die optimierte” ”Basis {|µ i>0 〉} = {| ˜ν〉} mit ˜ν = 0 . . . (m − 1) beschrieben, an einem ausgezeichnetenPlatz, zum Beispiel i = 0, wird diese Basis jedoch um einige der ursprünglichenZustände {|ν〉} ergänzt. Die Basis am Platz i = 0 entsteht also durch OrthonormierungON(. . .) der optimierten und der reinen Zustände, {|µ 0 〉} = ON({| ˜ν〉} ∪ {|ν〉})(vergleiche Abbildung C.1, linke Seite). Nach einer anfänglichen Initialisierung, etwamit reinen Zuständen, werden die optimierten Zustände nach folgendem Schemaverbessert:(1) Man berechne in der aktuellen Basis { ⊗ N−1i=0 |µ i〉} eine Näherung für den gewünschtenEigenzustand |ψ〉 des untersuchten Modells,91