Theoretische Untersuchung magnetoresistiver Manganate

so sind dessen Eigenenergien durch( ) πνɛ ν = −2t cosL + 1mit ν = 1, . . . , L (3.24)gegeben. Für eine diskrete Summe über eine beliebige Funktion g, die von dieserDispersion abhängt, gilt also die ApproximationL∑ g ( ∫)πν L + 1πL+1 ≃ g(t) dt − 1 π2 [g(0) + g(π)] + O( L 1 ) . (3.25)ν=10Identifiziert man L mit R und nimmt an, daß die Summe über die Funktion g einethermodynamische Funktion beschreibt, so ergibt sich für die Korrektur niedrigsterOrdnung in der Systemgröße der Ausdruck1LL∑ g ( ∫)πν 1πL+1 − g(t) dt ≃ 1 πLν=10⎧⎨1⎩π∫ π0g(t) dt − 1 2 [g(0) + g(π)] ⎫⎬⎭ . (3.26)Verallgemeinert man dieses Ergebnis auf ein D-dimensionales tight-binding System,dessen Zustandsdichte mit ϱ D (E) bezeichnet sei, so erhält man1L DL∑ν 1 =1≃ D L· · ·⎧⎨⎩L∑ν D =1∫2Dt−2Dtg ( πL+1{ν 1 , . . . , ν D } ) −g(E) ϱ D (E) dE − 1 2∫2Dt−2Dt∫2Dt−2Dtg(E) ϱ D (E) dE⎫⎬[g(E + 2t) + g(E − 2t)] ϱ D−1 (E) dE⎭ . (3.27)Wird für g die Fermiverteilung oder die freie Energie eines einzelnen Niveaus eingesetzt,beschreibt Gleichung (3.27) die von der endlichen Systemgröße L ≡ R verursachtenKorrekturen zur Teilchendichte beziehungsweise zur freien Energie einesClusters. Abbildung 3.7 verdeutlicht die Qualität der Approximation anhand der freienEnergie F(L) einer eindimensionalen Kette der Länge L. Diskrete Datenpunktekennzeichnen die exakten Werte von F, die durchgezogene Linie das asymptotischeVerhalten nach Gleichung (3.27). Naturgemäß versagt die Näherung für kleine GittergrößenL, was sich nachteilig auf eine numerische Lösung der zu einem Zwei-Phasen-Modell gehörenden Selbstkonsistenz-Gleichung auswirkt. Abbildung 3.7 enthält deshalbauch eine einfache alternative Beschreibung der L-Abhängigkeit (gestrichelte Linie),bei der das endliche System durch ein effektives Band modelliert wird, dessenBreite W durch die extremalen Eigenwerte des endlichen Systems gegeben ist,( ) πW = cos W 0 . (3.28)L + 163