Juin 2005

Epreuve d'Algèbre. Session d(IoI.·~:Jw:~eI-2005.(durée 3h; documents et calculatrices non autorisés)Il sera tenu le plus grand compte de la précision des réponses et du soin apporté à la rédaction.Exercice A.L Décomposer N := 5005 en produit de facteurs premiers (factoriser X 3 + 1 sur Q).Soit a := 1523, et li E ZN sa classe.2. Montrer que li E ZN'3.Détermiuer l'ordre de li dans le groupe multiplicatif ZN'Exercice B. Soit P(X) =: 5X4 -lOX 2 + 4.L Montrer que la fraction rationnelle P'(X) := X4.P(I/X) est, en fait, dans Z[X], etdéterminer ses coefficients.2. Montrer que P'(X) est irréductible sur Q.3. Moutrer que si P = AB est une factorisation de P dans Q[X], alors on a unefactorisation naturelle: P' ~ A'.B' dans Q[X].3. En déduire que P(X) est irréductible sur 1Ql.4. Montrer que a:= )(1-1/,15) est algébrique sur Q. (Déterminer 01" P(X) E Z[X]tel que Pra) = 0).5. Déterminer le degré de a sur Q.Exercice C.On se propose de déduire de l'écriture en base 2 de certains nombres premiers P, des polynômesà coefficients entiers irréductibles sur Q. Les parties .I,II, III peuvent être traitéesindépendemment.Soit P(X) = oc + a,X + ... + ad_2Xd-2 + X d-I + X d E Z[X] tel que: laol = 1, etlaj 1