Juin 2005

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Université Henri Poincaré, Nancy 1Département de MathématiquesDocuments et calculatrices interditsDEUG MIAS2 - ALGEBRE - GEOMETRIEEpreuve de 2ème session <strong>2005</strong>, durée 2 heures.Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie.Question de coursL Rappeler la définition d'un produit scalaire hermitien sur E.On suppose dorénavant E muni d'un produit scalaire hermitien (.).2. Soit f un endomorphisme de E. Que signifie l'expression"f est hermitien" ?3. Soit A la matrice de l'endomorphisme hermitien f dans une base orthonormée de E. Que vérifieA?4. Donner le théorème de réduction des endomorphismes hermitiens. En particulier, que peut-on diredes valeurs propres d'un tel endomorphisme?Exercice 1On considère dans le plan affine euclidien orienté deux droites V et V' parallèles distinctes. Soit 0 unpoint du plan en dehors des droites D et D' : on note H (respectivement H') la projection orthogonalede 0 sur D (respectivement D') et on suppose que 0 n'appartient pas au segment [H H'] (en d'autrestermes, cela signifie que le point 0 ne se trouve pas "entre" les droites V et V').Soit C le cercle de diamétre [HH'] : C a donc pour centre le milieu ri de [HH']. Soit P un point ducercle C tel que la droite (OP) est tangente au cercle C (on rappelle qu'alors les droites (OP) et (rlP)sont orthogonales).Soient M un point de D distinct de H, et M' le point d'intersection des droites D'et (DM).1. Montrer que les triangles OHM et OH'M' sont directement semblables: on notera SI la similitudedirecte qui envoie OHM sur OH'M'.2. Soit 82 la similitude directe de centre 0 telle que 82(H) = M.(a) Calculer 82(H').(b)Montrer que le point Q = 82(P) appartient au cercle de diamètre [MM'] et que la droite (OQ)est tangente à ce cercle.3. Soit" la similitude directe de centre 0 telle que ,,(H) = P.(a) Montrer que les droites ,,(D) et (OP) sont orthogonales.(b) Montrer que ,,(D) = (rlP).(c) Montrer que ,,(M) = Q.(d) Montrer que ri, P et Q sont alignés.Exercice 2On se place dans l'espace affine euclidien orienté E (de dimension 3) muni d'un repère orthonormédirect (0,i,J, k).Soit f l'application de E dans E définie par:22-1-122
1. Montrer que f est une isométrie affine.2. Donner ses éléments caractéristiques.Exercice 31. Question de cours. Soient E un espace vectoriel euclidien de dimension finie et (el,"" en) unebase orthogonale de E. Soit x E E. Ecrire les coordonnées de x dans cette base en utilisant leproduit scalaire.Soit E l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n sur R. On pose, pour P et Qdans E
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