Juin 2005

UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY 1SUJET D'EXAMENDiplôme: DEUG MIAS 1ère annéeDeuxième sessionEpreuve: UE23 - TP-Projet de mathématiquesDate : juin 2005Documents et calculatrices interditsDurée : 2 heuresSauf mention explicite du contraire, toutes les réponses doivent être justifiées.La précision et la clarté de la rédaction seront prises en compte dans lanotation.Exercice 1On rappelle que la diffèrence symétrique X ~Y de deux ensembles X et Yest définie par X~Y = (XuY)\(XnY).Soit A, B et C trois ensembles. Montrer que A~B = A~C si et seulementsi B = C.Exercice IIOn note X l'ensemble {tomate, herbe, ciel, poivron, salade, haricot} et Yl'ensemble {rouge, vert, bleu}. On appelle idx l'application identité de Xet idy l'application identitè de Y.1. a. Soit h l'application de X dans Y définie par h(tomate) = rouge,h(herbe) = vert, h(ciel) = bleu, h(poivron) = vert, h(salade) = vert eth (haricot) = vert.Combien y-a-t-il d'applications 9 : Y -> X telles que ho 9 = idy ?b. Soit 12 l'application de X dans Y définie par 12(tomate) = rouge,12(herbe) = vert, h(ciel) = bleu, 12(poivron) = rouge, 12(salade) = vertet 12(haricot) = vert.Combien y-a-t-il d'applications 9 : Y -> X telles que 12 0 9 = idy ?2. Combien y-a-t-il d'applications injectives de Y dans X ?3. Si 9 : Y -> X est une application injective, combien y-a-t-il d'applicationsf : X -> y telles que f 0 9 = idy ?4. Combien y-a-t-il d'applications f X -> y et 9 Y -> X telles quef 0 9 = iriy ?5. Combien y-a-t-il d'applications f X -> Y et 9 Y -> X telles quego f = idx ?6. (question facultative) Combien y-a-t-il d'applications surjectives de Xdans y?T.S.V.P