Juin 2005

UNIVERSITE HENRI POINCARE, NANCY 1FACULTE DES SCIENCESSUJET D'EXAMENDiplôme: DEUG MIAS 2Epreuve de: Maths DiscrètesDate: 28/06/2005Horaire: 16h30 - 18h30Durée du sujet: 2hDocuments non autorisésNom du rédacteur: KA. CichonExercice 1Exercice 3Exercice 55 points4 points4 pointsBarèmeExercice 2Exercice 43 points4 pointsExercice 1Soit f( Xl, X2, X3, X4) la fonction booléenne vérifiant les contraintes suivantes:f(O, 0, 1, 1) =°f(O, 0, 0, 1) = 1X3X4 --7 j(Xl, X2, X3, X4)X2X4 ---t J(X1, X2, X3, X4)f(X1, X2, X3, X4) ---t X1X2 + X4f(X1, X2, X3, X4) ---t X2 + X3 + X4Simplifier cette fonction en utilisant un diagramme de Karnaugh.Exercice 2Le système formel, S, suivant est un système de déduction réduit pour la logique propositionnelle:l'ensemble P de propositions est construit à partir de variables propositionnelles en utilisantseulement les symboles ---t et ~, c'est à dire que,• si p est une variable propositionnelle alors pEP,• si A, BEP alors ~A et A ---t BEP.Les preuves sont construites en utilisant les axiomes et règles suivants sur les séquents:AxiomesTout séquent de la forme Tj , A, r 2 f- 6. 1 , A, 6. 2 est un axiome.Règlesr 1,r2 f- 6. 1,A,6.2 r 1,B,rz f- 6. 1,6.2r 1,A ---t B,r 2 f- 6. 1,6.2r 1,A,r2 f- 6. 1,B,6.2rI, r 2 l- 6.1, A ---t B, 6. 2rl,r2 f- 6. 1,A, 6. 2r1,~A,r2 f- 6.1,6.2 ~G r 1,A,rz f- 6. 1,6.2rI, r 2 f- 6.1, ~A, 6. 2~DEn utilisant le système S, donner une preuve du séquentA ---t B f- (C ---t Al ---t (C ---t B)1