Juin 2005

UNIVERSITE DE NANCY l - FACULTE DES SCIENCESSUJET D'EXAMEN: Mécanique du SolideDIPLÔME:Date:Horaire:Durée du su'et : 2hDEUG SM 2°année (DEG2041Z)Juin 2005Nom du rédacteur: P. FERTEYDocuments non autorisésCalculatrices autoriséesUn demi cylindre creux et rugueux d'axe Ck, de masse m, de rayon R et de longueur 1repose initialement le long de sa génératrice de contact sur un plan horizontal, le plandiamétral AB étant vertical (cf. figure). Le coefficient de frottement entre le demicylindreet le plan est! Le demi-cylindre est abandonné sans vitesse initiale dans cetteposition. On pose d =IIC~I. Soit J le moment d'inertie du demi cylindre creux par 0 irapport à l'axe Ck.1) Déterminer la direction du vecteur rotation instantanée {ij du système dans lerepère (0, i,j, k).2)* Donner la forme de la matrice d'inertie dans le repère (0, i, j, k). Donnerl'expression du moment d'inertie J du système par rapport à l'axe Ck connaissant les momentsd'inertie d'un cylindre homogène de masse M et de rayon R et de longueur 1. En déduirel'expression du moment d'inertie J' par rapport à l'axe Gk en fonction de m et R.3) Ecrire la condition de roulement sans glissement. En déduire la relation entre la vitesse V de C et lavitesse angulaire ca:4) Donner le bilan de toutes les forces qui s'appliquent à ce système.5) Donner l'expression du moment cinétique du système au centre de gravité G.6) Donner l'expression des composantes de l'accélération du centre de masse dans le repère (0, i,j,k) en fonction de ()et de ses dérivées par rapport au temps.7) Donner l'expression des composantes parallèle et perpendiculaire au plan de la force de réactionainsi que l'expression de l'accélération angulaire, à l'instant initial.8) En déduire la valeur defpour que le demi-cylindre roule sans glisser dès le début du mouvement.* Cette question peut être omise. On appellera J' le moment d'inertie du système par rapport à l'axe Gk.On donne:moments d'inertie d'un cylindre homogène de longueur 1et de rayon R, par rapport à son axe de révolution =rapport à un axe perpendiculaire à l'axe de révolution = MRh +MlXZ'MR 2 et parThéorème d'Huygens: le moment d'inertieId d'un système de masse M par rapport à un axe L1 connaissantle moment d'inertielA' par rapport à un axe LI'parallèle à LI et distant de d est If!, =If!,' + M d' .