Juin 2005

\ii\-)"52.EPREUVE D'ANALYSE 1juillet 2005durée 2H, tous documents interdits1) Soit a> O. En posant x = e- t , calculerJ - 1 e-ta -et dt (2 p),2) Soit la fonction F :]0,+00[--' IR( définie parF(x) = J2x dt .x fi3+ia) Déterminer le signe de F'(x) (1,5 p). b) Calculer les limiteslimF'(x) (0,5 p); limF(x) (1,5 p); limF(x) (1,5 pl.X-+Ù+ X-+Ù+ x-+coc) En déduire le graphe (approximatif) de F (2 p).3) Déterminer l'ensemble des couples (x,y) E [0,+00[2 tels que la sériesoit convergente. Représenter le résultat graphiquement (3 pl.4) a) Rappeler le théorème de dérivation terme à terme d'une série de fonctions(1 pl. b) Rappeler la règle d'Abel pour la convergence uniforme des séries defonctions (1 pl. c) En déduire que la fonctionest de classe Cl sur ]0,2n[ (4 pl.00S(x) = ""' et"" + 1,t;.." n 2 + 1n=l5) Rappeler la deuxième formule de la moyenne (1 pl. En déduire la relationT> 1 => IJ- sint dtl < 2. (4 p)- T+I t+cost - T .