Juin 2005

Université H.Poincaré DDEG20220EPREUVE DES MATHÉMATIQUESJUIN 2005Documents et calculatrices non autorisésExercice 1a)Donner le développement limité à l'ordre 2 de f(x) = (1 + tgx) ,~".b)Préciser les réels ex, f3 et 1 si:Exercice 2. f(x) + exx+ f3 _1x-..o Xlm 2 -,.On pose: a = ln~~, et lIJJ = {(x,y) E JR2; 0:::; x < In(2); 0 < y < x}.Calculer:Exercice 3OnposeA= [î ; =iJ.3 3 -1'r .-,-e_x_+_Y-c-dxdY.JJ D a(1 + e Y )1) a)Préciser le spectre de A b)Préciser les vecteurs propres de A.2)Calculer An pour n un entier relatif.Exercice 4Soit E un JR-espace vectoriel de dimension 3 muni d'une base B = (el, ez, ea).1) a)Montrer que la famille B' = (-el - e2+ ea; -2el - 3e2+ ea; -el - 3e2+ea) estune base de E et préciser la matrice de passage P de B à B'. b) Calculer p-l.2)On considère l'endomorphisme u de E défini par:MB(U)Donner la matrice MB'(U) de u relativement à la base B'.Exercice 5Soit n > 1. Calculer limk~oo ~:3 7 J 8 15 .-3 -61 n-l 0 0 2 n-l 0 0-1 2 n-l 0 -1 2 n-l 0A k = 0 0 lffik = 0 0-1 2 n-l -1 2 n-l0 -1 2k0 -1 2kTypeset by A.MS-TEX