Juin 2005

7) Soient VI = (~1)' V2= G) et 113 = (!). Montrer que (VI,v2) est une base de F,UNIVERSITÉ HENRI POINCARÉ NANCY 1FACULTÉ DES SCIENCESSUJET D'EXAMEN DEGlü212DIPLÔME: DEUG MIAS 1ère annéeÉpreuve d'algèbre de l'UE21Examen de la session de juin 2005Date: / /2005Horaire:Durée du sujet: 2 heuresResponsable: J.-F. GrosjeanDocuments non autorisésCalculatrices non autoriséesExercice 1Soit E un espace vectoriel sur ]R et f : E -----> E une application linéaire.1) Soient À,p, deux réels. Montrer que si À of p" alors Ker U- Xid) et Ker U- p,id) sonten somme directe (id désignant l'application identité de E).2) On suppose désormais que E = ]R3 et que f est l'application linéaire de ]R3 dans ]R3définie par:f (.(~))z= (3~: ~~=~Z)2x+2y-zDéterminer la matrice A de f dans les bases canoniques (au départ et à l'arrivée).3) Pour tous À E ]R, on considère la fonction P(À) = dét(A - À1) où l est la matriceidentité 3 x 3. Montrer que P(À) = (1 - À)2(2 - À).4) En déduire les valeurs de À pour lesquelles Ker U- Aid) of {O}.5) Déterminer une base et la dimension de F = Ker U- id) et G = Ker (f - 2id).6) En déduire à l'aide de la question 1) que ]R3 = FEI) G.(V3) une base de G et B =(Vi,v2,v3) une base de ]R3.8) Déterminer la matrice de passage Q de la base canonique à la base B.9) Soit A' la matrice de f dans la base B (au départ et à l'arrivée). Sans calculer ç:',déterminer A'.10) Exprimer A en fonction de A', Q, Q-I puis An en fonction de A', Q et Q-I