Juin 2005

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Université Henri Poincaré - Nancy 1DEUG SM1 2004/<strong>2005</strong>Faculté des Sciencespremier semestreExamen 2ème session : UE 13 Outils Mathématiques(Responsable: Vicente Cortés, Institut Élie Cartan)Documents et calculatrices non autorisés, durée: Ih,1. Calculez la tangente en tout point (xo, f(xo)) du graphe des fonctions f suivantes:(a) f: ~ ---*~, f(x) = tanh(x - 2),(b) f: ~* ---*~, f(x) = ex;, x ,(c) f: ~ \ {1} ---*~, ln lz. - 11-2. Considérez le mouvementd'une particule dans l'espace ]R3 : ê(t) = (x(t), y(t), z(t)) E ]R3 est la position de laparticule au temps t. On supposera que les fonctions t >-+ x(t), t >-+ y(t) et t >-+ z(t)sont deux fois différentiables. Dans ce cas, on peut définir le vecteur vitesse iJ(t) deê au temps t commeiJ(t) := (x'(t), y'(t), z'(t))et le vecteur accélération commeil(t):= (xl/(t),yl/(t),zl/(t)).On supposera que le mouvement est déterminé par la loi de Newton:il = _k2 êr 3 '(1)oùet k =f 0 est une constante.(a) Soitl'énergie cinétique etk 2U:=-r1
l'énergie potentielle de la particule (de masse 1). Montrez que l'énergie totaleE=U+Test constante pour toute solution de (1).(b) Montrez qu'il existe des solutions d'énergie nulle, du type suivant:c(t) = (f(t)xo, f(t)yo, f(t)zo) , (2)où (xo, Yo, zo) E ]R3 \ {O} est un vecteur constant et t f-> f(t) > 0 est unefonction que vous déterminerez. Vérifier que f est strictement décroissante.3. Calculez l'aire du domaine U C ]R2 suivant:U = {(x,y)IO < x < 1r et min(sinx,cosx) < y < max(sin x, cos x)}.Faites un dessin du domaine U.2
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Session de Juin 2005Sujet de Biolog
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UHP, Nancy 1 zème Session juin-jui
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