Juin 2005

Problème 3. (5 points)On cherche à connaître le volume du domaine suivant:avec a, b,c E .IR.;-. Pour ce faire, on choisit un système de coordonnées qui permettrade décrire facilement le bord de .0.. On propose:{~k; r sin e cos 'fik y r sin () sin 'Pk, r cos ()où k«, k y , k; sont des constantes et r E lfI.+, e E [0,1r], 'P E [0,21r] sont les nouvellesvariables.1. Calculer le Jacobien de cette transformation g~~,'%,';?a a a2. Trouver comment choisir k«, ky et k z de manière à avoir ~2 + b2 + ~ = r 2 .3. Déduire des questions précédentes le volume de .0..Problème 4. (7 points)1. Soit 1 la fonction périodique de période 21r, définie par:- I(x) = sin (x) pour xE [0,1r],- 1 est paire.On peut aussi définir 1 sur sa période par I(x) = 1sin xl pour x E [-1r,1rJ.(a) Tracez le graphe de 1 sur [-31r, 3 1r], et vérifiez que 1 satisfait les conditionsde Dirichlet.(b) Calculez sa série de Fourier. Pour cela, on propose les étapes suivantes:i. Exprimer les coefficients an et b n compte tenu des hypothèses.H. Prouver quepour n = 1, sin z cos nxpour n ~ 2, sin z cos nx1 .2sm 2x1:2 (sin (n + 1) x - sin (n -1) x)Iii. Terminer le calcul des coefficients en remarquant que(-lt+ 1 -1 = (_I)n-l -1 = { ~2si n est pairsi n est impairOn notera n = 2 p lorsque n est pair, et n = 2 p+1 lorsque n est impair.2. On considère la fonction 9, périodique de période 27r, définie sur sa période par:- g(x) = sin x pour x E [0,1r]- 9 est impaire.(a) Donner l'expression de 09 sur [-1r, 0], en déduire la définition de 09 sur [-1r,1r].(b) Donner - sans aucun calcul - les coefficients de la série de Fourier associéeà g.2