Juin 2005

Université Henri Poincaré, Nancy 1Département de MathématiquesDocuments et calculatrices interditsDEUG MIAS-STP1 - Tronc communEpreuve de 2ème session 2005, durée 2 heures.Exercice 11. Soit P(X) = X 3 + 1. Décomposer P en produits de facteurs de degré 1 dans qXJ, puisen produit de facteurs de degré 1 ou 2 dans ]R[XJ.. 12. Soit R(X) = X3 + l' Décomposer R en éléments simples sur R3. Calculer une primitive de R(X) sur ] - 1, +00[.4. Résoudre sur ] ~ 1, +oo[ l'équation différentielleQuelle est la solution qui vaut 0 en 0 ?1 1Y chx + yshx = -3--'x + 1Exercice 2Déterminer le reste de la division euclidienne de P(X) = X 291 + X 14 + X 12 + 3X 3 + 2X 2 + 1par X 2 - 1.Exercice 31. Dans ]R4, on considère les 5 vecteurs1 1 1 1 2-1 0 -1 -1 191 = -1,92 = ,93 = 1 -2 ,94 = ,95 =1~11 -1 1 1 2Extraire une base de]R4 de {91,92,93,94,9S} et donner les coordonnées du vecteur restantdans cette base.x2. Soit v = y zun vecteur quelconque de]R4 Déterminer la (les) condition(s) sur x, y, z, ttpour que le vecteur v appartienne au sous-espace vectoriel F engendré par 91,92,93,a3. Soit w =bcne vérifiant pas la (les) condition(s) précédente(s). La famille {91,92,93,W}dest-elle libre? Est-elle génératrice ?4. Soit G le sous-espace vectoriel défini par l'équation: x + y + z + t = O. Quelle est ladimension de G ? Déterminer une base du sous-espace vectoriel F n G.Tournez S.V.P