Juin 2005

t(\~S2EPREUVE D' ANALYSE 2juillet 2005durée 2H, tous documents interdits1) Calculer le rayon de convergence et la somme de la série entière00S(x) = :~::>2xnn=l(4 pl.2) Soit h : IR(2 -e- IR( une fonction de classe Cl a) Simplifier l'expressionH(x) = f: ihh(x,t)dt (1,5 p).b) En déduire que H est dérivable et calculer H' (x) en fonction des dérivéespartielles de h (1,5 pl.3) Soient u : IR( --> IR( une fonction continue et v : IR( -e- IR( une fonction de classe Cl.Etant donnés a < b deux réels, on poseG(x) =ru(x + t)v(t)dt.aMontrer que G est de classe Cl sur IR( et donner une expression de G' (x). Méthode:soit Uune primitive de u ; faire une intégration par parties. (3 p)4) Soit F : [0, +00[--> IR( la fonction définie parF(x) = f+OO sin 2 t dt.a x+ t 2a) Montrer que F est définie, monotone et continue sur [0,+00[. (2,5 p)b) Montrer que F est de classe Cl sur ]0, +00[ et donner une expression de F'(x).(3 p)c) Calculer les limites:Indication: écrire Joo = J.ft +Jooa a .ftlim F(x) (2,5 p) et limF'(x) (2,5 pl.X--++OOX-+Û+dans les deux cas.d) Déduire de ce qui précède le graphe approximatif de F (1,5 pl.