Juin 2005

Université de Nancy 1 DEUG SM deuxième année, 2004-2005Examen de compléments mathématiques (UE 44) - deuxième sessionLes calculatrices sont autorisées, ainsi que les documents indiqués en cours. Lebarème n'est qu'indicatif.Problème 1. (5 points)SoitF(s)LDécomposer la fraction rationnelle F(s) en éléments simples.2. En déduire L- 1 (F(s)), où L- 1 désigne la transformée de Laplace inverse.3. A l'aide de la transformée de Laplace, trouver la fonction y : t E IR+ >-> y(t) quisatisfait:{ y'(t) ksin(kt) pourt>Oy(O)oavec k E IR un réel fixé. On veillera à expliciter clairement la prise en compte dela condition initiale y(O) = o.Problème 2. (3 points)Soit la fonction:J:IR--'U >->IR+ •m ) 1/2J(u)=n ( 21rkT exp(-mu2/2kT),où k, T, rn, et n sont des paramètres fixés. L'objectif de ce problème est de calculerc: f(u) du. Dans ce but, nous allons calculer l'intégrale:lf:= exp (_mu 2 12k T) du.1. Après avoir posé le changement de variables v = u V2 7:T' exprimer I sous laforme:2. Rappelons que J -00 += e- v'dv = y7r. c: En déduire .' I, et J+= -co f ( u)du.Remarque 1 En théorie cinétique des gaz, la fonction f est très utilisée, et s'appelleune distribution Maxwellienne. Les calculs que nous venons de proposer permettent dejustifier le choix de la constante en facteur de l'exponentielle.T ç V'P