Juin 2005

Université Henri Poincaré - Nancy 1DEUG SM1 2004/2005Faculté des Sciencespremier semestreExamen 2ème session : UE 12 Mathématiques(Responsable: Vicente Cortés, Institut Élie Cartan)Documents et calculatrices non autorisés, durée: 2h.1. Calculez la dérivée des fonctions suivantes j :]0, 1T[---7lR:(a)(b)où nE N,cosxj(x) = cotx = -.-, (cot z)", (cot z.)".smxx 4j(x) = exp(cotx)(c) Calculez la dérivée de la fonction inversearccot := cot- 1 : IR ---7]0, 1T[et de la fonction f(x) = arccot (3x - 2).2. (a) Trouvez les minima et maxima locaux de la fonction f : IR ---7 IR,(b) Existe-t- il un minimum global?(c) Existe-t-il un maximum global?x 4 x 3 x 2f(x) = - + - - - - x.4323. Déterminez le minimum et le maximum de la fonction4. Montrez que j(x) = z" (n E Z) est la seule fonction différentiable j : IR~ ---7 IR telleque f(l) = l etpour tout x > O.f'(x) =J(x)xl