Juin 2005

UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY 1FACULTE DES SCIENCESSUJET D'EXAMENDIPLOME: DEUG MIAS 1ère annéeEpreuve d'analyse de l'UE21Examen de juin 2005Date: juin 2005Horaire:Durée du sujet: 2 heuresResponsable: G.EguetherDocuments non autorisésCalculatrices non autoriséesDEG10211Toutes les questions sont indépendantes et ont la même valeurQuestion 1 Donner la définition de « la suite (un)n2:0 est décroissante ».Question 2 Trouver un équivalent simple de Un = na + an (a> 0).Question 3Soit (un) une suite bornée, et (vn) une suite qui admet +00 pour limite. Montrerque (un + vn) admet +00 pour limite.Question 4 Donner, en le justifiant, un exemple de suite non majorée qui n'admet pas +00pour limite.Question 5Question 6Question 7Question 8Question 9Question 10Donner le développement limité en 0 à l'ordre n de (1 + x)m.Déterminer le développement limité à l'ordre 2 en 0 de In(l + chx).Déterminer le développement limité à l'ordre 2 en 1 de 1/,;x.Déterminer le développement limité à l'ordre 2 en 0 det n x )'ln 1 + xDéterminer le développement limité à l'ordre 3 en 0 de arccos x.Déterminer la limite en 0 de (1 + 2x)1/x.Question 11 Soient f et 9 deux fonctions continues sur un intervalle I = [a, b] , et vérifiant,pour tout x de ]a, b], l'inégalité f(x) < g(x). Quelle relation a-t-on entre f(a) et g(a)?Question 12 Déterminer la borne inférieure de l'ensemble A = {~ + ~ 1n,m E N*} .Question 13On note lu] la partie entière du nombre u. Déterminer l'ensemble des points deR+ où la fonction f définie par f(x) = [,;x] est continue.T.S.V.P1